Question

ﾐｼﾞｭ

(3)の問題についてです。
この問題は、(2)から漸化式を推測していますが、これは証明をする必要はないのですか。

例えば漸化式から具体的な数字を考え一般項を推測した場合は数学的帰納法で証明したりしますが今回はなぜ証明しなくても一般に成り立つということが言えるのでしょうか。

長文すみません。よろしくお願いします。

任意の実数x に対して,x を越えない最大の整数を [x]で表す。
nを自然数として,
122
S(n)=2k=1+2 +3 + … + n
k=1
n²
...
①
T(n) = {[√k]² = [√1]² + [√2]² + [√3]² + ··· + [√n²]² ….…………..?
k=1
を考える。
(1) S (n) を求めよ。
(2)T(1),(2), T(3) を求めよ。
(3) T (n) を求めよ。
(4) 極限 lim
T(n)
を求めよ。
(上智大*)
n→∞
S(n)

ECK3
7(3)= [√]
= { [ √ ]² + √ √ ]²
T(2)=7
=7+[v5]+[v6]+[v]
T(2) [2.2.2
=22
[2.4.12 [2.6...
1=22
=22
+ [v8] + [v]
an=T(n),bn=2n3+ (n+1)^ とおくと,
an+1-a=bn (階差型の漸化式) より,
n-l
n≧2で, an=a+ + by となる。
k=1
③より, n≧2で、
n-1
T(n)=1+,2{2k+(k+1)2} 1階差数列
T(1) 初
n-1
←
n
=2Σk³ +Σk²
[2.8...]2 32
=22
T(1)
=7+4×22+32=32･･････(答)
(3)(2)より,一般に次式が成り立つ。
m²
(n+1)2
T(n+1)=2vk+ 2 [VE]
k=n2+1
T(n)のこと)
これを変形して,
(n+1)2
T(n+1)-T(n)=2 [VR]より、
k=n2+1
k=1
60+
k=1
1 + "E" (k + 1)² = 1² + 2² + ... + n²
k=1
=2.1/2(n-1)'r'+1/6m(n+1)(2n+1)
公式2=1/4(n+1)^nにn-1
を代入したもの
もの=1{3n(n-1)2 + (n+1)(2n+1)}
= n(3n³-4n² + 6n+1)
I
f(n)
ここでvn2+1, Vn2+2
√n'+2n it,
これはn=1のときT(1)=1をみた
すので,
頭数は,(n2+2n)
最後の項
(n2+1)+1=2n
最初の項
T(n) = —½n(3n³ − 4n² + 6n+1)
-
･ (
すべ
り大かつn+1より小の数から,
このガウス記号をとったものはnとなる。
そして、最後のガウス記号の項だけは,
(4) (1) (3) 結果より,
n→∞
lim
T(n)
S(n)
分子分母をn3
で割る。
[vn+1)^]=[n+1]=n+1 となる。
12
T(n+1)-T(n)
=[vm²+1]+[Vm²+2}+
n
n'
+[V+2.
n
=lim
818
n(3n³-4n²+6n+1)
1½n(n³ +n)
-
3-
n
-0
1+
+
れ
+
/2
/3
+0
(
=2nxn²+(n+1)^
2n項
+ [v(n + 1)2]
(n+1)2
T(n+1)-T(n)=2n+(n+1)2...③
11-00
=-1/3×3=1
an+1
an
bn

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

成り立つことが容易にわかることもあり、証明不要です
だってT(n+1)を、途中までのT(n)と
それ以降との和に分けただけでしょう
漸化式を立てるのに数学的帰納法が要求されるのは
見たことありません

ﾐｼﾞｭ

回答ありがとうございます。
自分には分けているという感覚がなかったので勉強になりました。ありがとうございました。