実戦問題 10軸が変化する2次関数の最大・最小
αを定数とする。 2次関数 f(x)=x2+2ax+3a² -4 の区間 0 x 4 における最大値を M, 最小値をmとする。
(1)a=-1 のとき,M=ア, m= イウ である。よやうく
よか
(2) 放物線y=f(x) の頂点の座標は
I a,
オ
a² - 力
)であるから, 最大値 M は
α キク のとき M=T
α キクのとき M=
a² + シ
a+
スセとなる。
また, 最小値mは
α <ソタ のとき
m = ■チ
a² + ツ
α+テト
[ソタ Sa<ナ のとき
m=
Ja²-
a≧ナのとき
となる。
m=ネ Ja²
(3) αの値が変化するとき,M-mは α = ハヒのとき最小値をとる。
解答
(1)a=1のとき f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2
よって, f(x) は区間 0≦x≦4 において
最大値 Mf (4) = 7, 最小値m=f(1)=-2
(2) f(x)=(x+α)2 + 24°-4 と変形できるから
y
y=Ax)
[01
4x
放物線y=f(x) の頂点の座標は (-a, 2a²-4)
-2
Kev
x
区間 0≦x≦4の中央の値はx=2であるから,f(x) の区間
M は
における最大値
(i)
y=f(x)
(i)
a > 2 すなわち a < 2 のとき
M=f(0)=3a2-4
(ii)
すなわち a≧-2のとき M=f(4)=3a2+8a + 12
の≦2
次に,f(x) の区間 0≦x≦4 における最小値mは
大
0 214 x
a
Kev
()
-α > 4 すなわちα <4のとき
(ii)
y
y=f(x)!
m=f(4)=3a² + 8a + 12
(iv) 0 < a4 すなわち 4≦a <0 のとき
m = f(-a)=2a²-4
≤0
(v) as すなわち a≧0 のとき
m = f(0)=3a²-4
(3) (2) の (i)~(v)より, M-m の値は
(ア) a <-4のとき
M-m=3a²-4-(3a²+8a +12)
=-8a-16
(イ) -4≦a <-2のとき
M-m 3a²-4-(2a2-4) = a²
(ウ) −2≦a < 0 のとき
M-m=3a+8a + 12-(2-4)
= (a+4)2
(エ) a≧0 のとき
M-m 3a²+8a+ 12-(3a² - 4)
=8a+16
(ア)~(エ)より, M-mのグラフは上の図のようになる。
グラフより, M-mは α=-2 のとき 最小値4
攻略のカギ!
4
20
(
y
M-m4
y=f(x)
の
夢
0
4+
-a
16
(iv)
YA
y=f(x)
14
(v)
43
2 10
a
y=f(x)
By 1 区間における2次関数の最大・最小は、軸と区間の位置関係を考えよ 7 (p.18)
-a4
4
