Question

みさき

なんでe^2≦aじゃなくてe^2=aなんですか？
aがe^2よりおっきかったら常に不等式が成立すると思うんですけど...

14. すべての正の実数xについて ca≦α となる正の実数αを求めよ.
(筑波大)

問題7の話題と研究 (p.10)で示しましたように, 不等式
n<n!<n" (n≥3)
が成立しますから,これを使って考えてみましょう.たとえば,
n<(n!)<n
=8
814
であり lim(n!) =∞ です.ですから本間の場合 p=1 なら発散します。また
I
(0)
e²
+
0
7
最大
f'(x)
f(x)
f(x) の最大値を考えて, 求めるαの値は, a=e2.
p>1 ならp=1+α (α>0) とおけるので, ① により
(n½)<(n!)<(n").
1
n²² <(n!) n³ <nna.
話題と研究
増減表より, y=f(x) のグラフは
YA
2
n2na
して
両辺の自然対数をとって,
gol 0-(1)
2na
log<log (n!)<logn
na
log x
1回です。この ..
ので、
81円
Ta
ここで lim =0(a>0) (証明は問題 14の話題と研究 (p.23) を見てく
ださい)を用いれば,
(
lim log (n!)=0.
すなわち, lim(n!) =1 を得ます。ただしこの極限を求めるのが目的である
O
e2
H
第2章 微分法
23
logx
となります. これを描くとき lim -=0 を確かめておかなくてはいけませ
x-00√√x
ん.
01-logx=2. log√√x
72-00
なら、1≦(n!)であることは明らかですから, ② においては右側の不等式の
評価だけでよいでしょう。 【解答】もこの考えに従っています。
14.
【解答】
Ungel
√x
ですから,この極限は lim 10g0 と同じことです。
I→ ∞
IC
この証明は問題 18に出てきますが,ここでは別の方法を見ておきましょう.
x→∞ のとき,
logx_11
0<-
I
x t
1 *
x1
dt
171dt
+ & gol + !>0
2(√√-1)
→ 0.
x
sata
gol
ngol
したがって lim
10g0 です.
→∞
IC
1
この極限は10gについての極限として,とても基本的でいろいろな変形が
あります。
→
である.ここで,f(x)=-
log r≤log a
= 10g とすると,
f'(x)=2-10gz
より,
2x√√x
たとえば,xをx (α>0) でおき換えると,
lim
logra
-=0.
I+00
ra

Answer 1

らい

不等式の部分は成立しますが、等式の部分が成立しなくなるからです

みさき

ありがとうございます！
自分的には2≦3は真だから不等式もつけた方がいいのかと思ったんですけど、
わざわざ問題に等式ついてるし正の実数っていう聞かれ方してるからそう考えた方が確かに無難ですね

GDO

a=e^2が正しいですよ
aを動かした場合の1／√a・logaのグラフ（範囲）を考えると気づくと思います。
1／√x・logxと同じなんです。
だから最大値となる値を取るしかないのです。

みさき

グラフ書いたら理解できました！
同じ関数だからこれより大きいaの値だとそれより関数の値が大きくなるxが存在しちゃうんですね
ありがとうございます！

GDO

わかりやすく説明ができなかったのですが、
伝わってよかったです