Question

りり

(1)の解説の2行目で、なぜa1が正とわかっているのに、両辺をa1で割らないのですか？
また(2)の解説6、7行目「a_n>0より…」では、
a_nが正であることから、両辺をa_nで割ってますが、
なぜこちらは両辺をa_nで割って良いのですか。
この違いはなんですか？

3
A
正の数の数列{an}について
(1 + a2 + a3 + +an)2
3
3
3
=a1+a2+a3+... +an
が成り立っているとする。
(1) 1, 2, a3 を求めよ。
(2)an の一般項をnの式で表せ。
3
.....1
(n=1,2,3,...)
1

【解答】
(1) ① n=1 を代入して,
013 = 022
1 >0より,
01=1
X Fa aitti
022(21-1)=0
......②
① に n=2および②を代入して
(1+a2)2=13+ 023 +202+03²=1+0.3
a2³
#023-022-2a2 = 0
⇔ a2(a2+1)(a2 - 2) = 0
>0より,
a2 = 2.③
①にn=3および②③を代入して
(1 + 2 + a3)2 = 13 +2 + α3
a33³-a32-6a2 = 0
⇔ a3(a3 + 2)(a3-3)=0
43 >0より,
a3 = 3
4
② ③ ④ より,
a1 = 1, a2= 2, ag = 3 ・・・・・(答)
(2) (1)より, 一般項は,
an = n
9 4=α1+1
・⑤
at = 441

(2)①のnをn-1に書き換えると,n≧2のとき
(a1+a2+a3 + ... + an-1)
= 0 3 +023 +033 + … +an_1
①-② より,
3
an2 + 2(a1+a2+... + an-1) ・an=03
>0より,
an + 2(a1 + az +... + an-1) = am²
an
⇒an2-an-2(a1+a2+... + an-1) =0......③
さらに③のnをn-1に書き換えると, n≧3のとき
③
2
an-1 -an-1-2(a1+a2+... +an_2)=0...④
-
④より,
a²-an-12-(an-an-1) - 2an-1 = 0
⇒ (an+an-1)(an-an-1-1) = 0
an>0, an-1>0より, an+an-1 ≠0であるから,
an-Qn-1-1=0(≧3)
したがって, n≧2において,
an+1 - an-1=0 an+1 = a +1
⇔
a1 = 1, a2= 2より, ⑤はn=1でもなりたつ。
・⑤
よって, 数列{n}は初項 α = 1, 公差1の等差数列
であるので,
an=1+(n-1)1=n

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

これは、深い意味はありません
長い答案の中ですべてを同じ方針で統一していなくても
無理ありません
ですから、気にしなくて結構です

(1)を
a₁³=a₁²
a₁>0より（両辺をa₁²で割って）
a₁=1
としても構いません
このほうが簡明ですね

よく、割る式が正とは限らない問題がありますね
その場合は割らずに、必ず移項して因数分解します
そういう問題と同様に記述しているのかもしれませんね

(2)も移項して因数分解してから
両辺をaₙで割ってもよいですが、
こちらは(1)に比べても面倒だから、
模範解答のようにするのが自然ですね