Question

波瑠

微分の問題です。(1)の水色のマーカーが引いてあるところ以降が解説を読んでも分からないので解説お願いします。

3 x, y, zy+z=1, x2+y+z=1 を満たす実数とする。
(1)yz を x で表せ。 また, xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)x+y+z をxだけの式で表せ。
(3)x+y+23 の最大値、最小値と,そのときのxの値を求めよ。

453y+z=1
x2+y+z2=1
①,
② とする。
(1)② から (y+z)2-2yz=1-x2
① を代入すると 1-2yz=1-x2
よって 32 = 1/7
x2
③
2
①, ③ から, y, z は tについての2次方程式
12-t+
=0 ④の2つの解である。
2
2次方程式 ④ の判別式をDとすると
2
D=(-1)2-4・12=1-2x2
2
2次方程式の解である y, zは実数であるから
D≧0
すなわち
1-2x2≥0
これを解いて
√2
2
√2
⑤
(2)x+y+z=x3+(y+z)3-3yz(y+z)
=x³+1³−3.*².1=.
3
2
.3 x2+1
2
(3)f(x)=x12x2+1 とおくと
2
f'(x) =3x2-3x=3x(x-1)
f'(x) =0 とすると x=0, 1
-

⑤ の範囲におけるf(x)の増減表は,次のように
なる。
√2
√2
x
-
0
2
2
f'(x)
+ 0
-
f(x)
1-√2
11 V
1+√√2
4
4
よって, f(x) すなわち x + y3+23は
x=0で最大値 1,
√2
X=- で最小値
2
1-√2
4
をとる。