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基本 例題 36 an+1=pan+g" 型の漸化式
0000
|α1=3, an+1=2a+3+1によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
解答
Dita
う。
指針
漸化式an+1=pan+f(n) において,f(n)=g” の場合の解法の手順は
[信州大] 基本 34 基本62
①f(n) に n が含まれないようにするため, 漸化式の両辺を Q7+1で割る。
p.an 1
an+1
=
←
+ gf(n)=となり,nが含まれない
g'
an
[2]=b, とおくとbm+1=20nt
1
→
bn+1=bn+ の形に帰着。
T
g
q
CHART 漸化式 αn+1=pan+g" 両辺をgn+1で割る
11Z 1 an+1
an+1=2an+3n+1の両辺を 37+1で割ると
an
07=bm とおくと
2
3n+1
=
6n+1+88= +nd
2
①
an
+1
3
3n
2an
3n+1
=
2
an
33"
240-1
の方法
Satan+1=pan+qなど
既習の漸化式に帰着
をり。
bn+1 ==6n+1+dE
3n
(+1)=1+1+ad
2
これを変形すると
3
bn+1-3=1(bn-3) sp=s+rd
させる。
また
a
6.-3=1/32 -3=- -3=-2
{
特性方程式
30
1-888- 2
よって, 数列{b,-3} は初項 -2, 公比 1/3 の等比数列で
a=
-α+1から
α=3
bm-3=-2(2)
2\n-1
よって
ゆえに37=3
an
-=3-20
2\n-1 (*) 32
21
\n-1
=
an=3"bn=3.3"-3・2・2n-1(*)=3n+1−3.2" - °C・A
2"-1
=3.31.2.
3n-1
