Question

過疎村

sin x /x→1の証明について
円を用いた面積比較からのはさみうちを使って証明する方法（一枚目）が有名ですが、微分係数の定義に当てはめる（二枚目）のはダメなんでしょうか？
sin xのグラフの原点の傾きという意味なのですごく単純です

[証明]
とし,∠ABC = 0 とする.この
B
3
のグラ
CD
lim-
8-082
表しています。
とを
を求めよ.
かり記憶しておきましょう。
この大小関係は、よく利用されるものなのでしっ
y=sin.x
12
0
三角関数に関する極限のうち、最も重要であるのは次の極限です .
この定理を用いて, lim
sin.x
lim
110 I
sin.x
1-0 I
=1であることを示しましょう.
[証明 ]
x→0 とするから, 0<|x|<1としてよい。
この公式を証明するための準備として、次の定理の成立を示しておきましょう。
0<x< 10 において, sin.z<x<tanzi
sinr<r<tanr
の各辺を sin.x(0) で割って,
1<x
1
sinx COS.X
∴. 1>
sinx
> COS I
I
図のように, 半径1の単位円周上に∠AOB=x (x は弧度法の角)
となるように2点A, B をとる.
lim cos.x=1であるから, はさみうちの原理により
+0
このとき面積について,
点Aにおける円の接線と半直線 OB との交点をT とする.
B.
sinx
lim
=1
......①
次に,
2
IC
x+0
t<
<<0のとき、x=-t とおくと << であるから,①より、
sinx
sin(-t)
sint
IC
lim
lim-
lim-
=1
0115
x
t+0
-t
t+0
t
△OAB <扇形 OAB < △OAT
が成り立つ. それぞれの面積をx を用いて表すと
①.②より.
1
2
sinr<<tanr
1
2
0-(-x+x) mil
lim
sinx
TC
x0
=1
なる.したがって, 0<x<2/27において、
no inil
が成り立つ.
sinr<r<tang
薫り立つ.
(証明終わり)
この極限公式は,xが十分に小さい (0に近い)とき,
sinx≒x
であることを表しています.

x30 x
x
sing-Sho
D
210
flo)
2-0
610
(2n+1)\
x (2h+1)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

事実として
sinxを微分するとcosx
の証明に
sinx /x→1
を使います

いまsinx /x→1の証明に
「sinxを微分するとcosx」を使ってしまうと、
いわゆる循環論法となってしまいます

そもそもそのテキストの証明自体も循環論法ですが、
高校生としてはこれを認めて話を進めているようです
それがいいならあなたのもよさそうですが、
あなたのを認めるという話は聞かないですね

高校数学の微妙なところなのであまり突かれないし、
問われたら1枚目の方法で示すのが
高校生としてはお決まりで無難のようです

過疎村

循環論法でしたかー
ありがとうございます

Answer 2

あ

ダメです
そもそも、sinxの導関数の定義自体がlim(x→0)=sinx/x=1が成り立つ前提での式なので、これを使って、lim(x→0)=sinx/x=1を証明すると、lim(x→0)=sinx/x=1が成り立つからlim(x→0)=sinx/x=1が成り立つという証明になってしまいます。