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(1) 2'3を満たすは有理数でないことを証明せよ。
を満たす有理数x,yを求めよ。
(2) 22
(3) (n²-3n+3) 8+15=1 を満たす自然数nのうち、最小なものと最大なも
<考え方> (1) 23 を満たす有理数ヶが存在すると仮定して矛盾を導く。
(2) (1) の結果を利用する.
(3) a>0 のとき, α=1 となるための条件は, α = 1 または 6=0 で
(1) 2'=3 を満たす有理数が存在すると仮定する.
2"=3>1より, >0 であるから,
=m (m,nは自然数) ･･････①
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とおける.
よって,
27 = 3
両辺をn乗すると
2m=3n
ここで,m,nは自然数より 2 は偶数, 3" は奇数で
ある.
つまり、②は成立しない.
したがって, ① とおくと矛盾が生じるから, rは有理
数でない.
(2) 2×33y=2-y+23x より,.
2x+y-2=3x-3y .....1
x-3y0 と仮定して, ① の両辺を
(=
x+y-2
x-3y
0-1X1440)
1
x-3y
x+y-2
2 x-3y =3
ここで, x,yは有理数より, x+y-2, x-3yも有理
数であるから,
も有理数となり、(1)により②は
・乗すると,
(3) (n²-3n+3)²-8n+15=11450
成立しない.
よって, x-3y=0 でなければならない.
このとき, ①より, 2x+y-2=1 となり, x+y-2=0 で
ある。
したがって, x-3y=0 かつ x+y-2=0 より,
背理法で示す
1 (偶数)=
両辺を2-
2"=3の
