Question

加油

求詳解 謝謝🙏

7. 已知△ABC中,AB= 2、BC=3且∠A=2∠C,則cosC的值為 。 [搭配單元3〕
(R))
Stif
單元 1~4 總習題
/100°

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

令 AB=c=2, BC=a=3
根據正弦定理，R為外接圓半徑
a/sinA = 2R
→ 2R=3/sinA)
→ 2R=3/sin2C = 3/(2sinCcosC)

又 c/sinC = 2R
→ 2/sinC=2R

因此，
2/sinC = 3/(2sinCcosC)
兩邊同除以 sinC
2=3/(2cosC)
故得 cosC = 3/4。

當然，你也可以假設第三邊是 x
然後用餘弦定理，列出 cosC 和 cosA 的方程式
然後就去解 x 的方程式，但是恐怕會遇到四次方程式。
(可以得到 2x⁴–9x³–16x²+45x+50=0)
不過如果你使用有理根判別法，其實可以順利分解成：
(x+1)(x+2)(2x–5)(x–5)=0
x=–1,–2, 5/2, 5
但是這四個根只有 x=5/2 符合，
因為 x 是邊長，不得為負數；
又若 x=5，2+3 沒有大於第三邊 5 ，無法構成三角形。

因此，x=5/2，且
cosC = ((5/2)²+5)/(6×(5/2)) = (45/4) / 15 = 3/4。