✨ 最佳解答 ✨
{(sin²2x)/4-k}cos2x=0より
(sin²2x)/4-k=0またはcos2x=0
(sin²2x)/4-k=0[※]について詳しく考える。
0＜sin²2x≦1であるから、0＜(sin²2x)/4≦1/4
[※]が成り立つ、すなわち(sin²2x)/4=kとなる可能性があるのは、0＜k≦1/4のときであり、k＞1/4のときは常に(sin²2x)/4-k≠0だといえる。したがってこの場合、①が成り立つのは、cos2x=0すなわちx=π/4のときのみである。
0＜k≦1/4のとき、(sin²2x)/4-k=0を満たすxが存在する。この三角関数の方程式の解の個数を考えるにあたって、もう少し式を簡単にした方がよい。
(sin²2x)/4-k=0
sin²2x=4k
k＞0より
sin2x=±2√k
このとき、0＜x＜π/2より0＜2x＜πであるから、
0＜sin2x≦1と正の値をとるため、
sin2x=2√k
このような方程式の解の個数を調べるには、y=sin2xのグラフを書いて直線y=2√kとの交点の個数を数えるのが有効である。
y=sin2x(0＜x＜π/2)とy=定数の直線との交点を調べると、
直線y=1とは1点で交わるが、直線がそれより下になれば、2点で交わることが見てとれる。
したがって、y=2√kがy=1のとき、すなわち2√k=1のとき、k=1/4であり、このときsin2x=2√kはsin2x=1で、その解はx=π/4となる。
y=2√kがy=1より下、すなわち0＜2√k＜1のとき、0＜k＜1/4であり、このときsin2x=2√kはx=π/4以外の解を2個持つ。
いつも回答して下さり、ありがとうございます。
理解できました。これからもよろしくお願いします。