例題36
面積1の正n角形(n>3) の周の長さを L(n) とするとき,次の問いに答え
封 の
燃関 a
よ。
A
(2) limL(n) を求めよ。
(1) L(n)をnの式で表せ。
n→の
(2) lim
sin0
-=1 を利用する。
0
考え方
0→0
(1) 右の図のように, 外接円の中心をOとし, 正n角形の
1辺 AB の中点を Mとすると,
解
B
ケ
AM
= AB=L(n)
ZAOM=とAOB=2
2
n
0
したがって,OM=-AM__L(n)
より,
Tπ
tan
n
2n tan
ーン
ne
{L(n)}
200-(0)
n
1.L(n)._L(n)
2 n
△OAB=
-AB·OM=
STS
D
277
のグラフを
π
2ntan
n
4n°tan
n
正n角形の面積は1であるから,
{L(n)}?
*n=1
π
0]
33 1as
4n°tan
n
ETS
0=1+ェ- (1P
実の
L(n)>0 より,L(n)=2,/ntan
nst
(2) エ=0 とおくと, n→8のとき, @→0であるから,
n
8)
278
n
π
-tan @
0
π
lim L(n)=lim 2,/ntan-
=lim2,
n
0→0
n→o
co-4
sin0
π sin0
0 cos0
π
=lim2,
=lim2,
0
=2/元
0→0
COs0
0→0
