✨ 最佳解答 ✨
・l₁とl₂が直交するaが存在するための条件は、①を満たすaが存在することです。
・ここでいう「存在する」とは、①を満たす実数aが存在するということです。そして、①を満たす実数aとはつまり、①のaの実数解のことです。よって、「①を満たすaが存在する条件」は「①のaの実数解が存在する条件」となりますから、①をaについての方程式と見たときの①の実数解が存在する条件を求めればいいわけです。
・①を満たすaが存在するための条件は①'を満たす正の実数Xが存在することです(正の実数Xが存在すればa²=Xよりaも求められるから)。つまり、①'のXの実数解が存在すること[D≧0]、そして少なくとも一方の解が正であること[※異符号(αβ＜0)または正で同符号(α+β＞0, αβ＞0)。kは実数だからαβ=(k²+1)/36＞0なので、α+β＞0であればよい。ちなみにこれは軸で考えても同じこと]。
添付画像: f(a)=36a⁴-15ka²+k²+1のk=1, 1.3, 1.5のときのグラフ。f(a)=0となる点すなわちa軸との交点が存在すれば、①を満たす実数aが存在するということ。関数の形はkによって決まるから、交点が存在するかどうかはkによって決まる。
余談ですが、kについての方程式とみると、kの実数解が存在するための条件は、aについての条件式になります。関数の形は係数によって決まるので、係数についての条件式になるからですね。
k²-15a²k+36a⁴+1=0
D=(-15a²)²-4(36a⁴+1)
=81a⁴-4
=(9a²-2)(9a²+2)
=(3a-√2)(3a+√2)(9a²+2)≧0
したがって、①を満たすkが存在するための条件は、
a≦-√2/3, √2/3≦a
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解が異符号の場合ですね。しんころさんの言う通り、もちろん可能性としてはあり得るのでしっかり考える必要があります。
解が異符号になる条件はグラフで考えると、y軸との交点が負になることです。
ところが、y軸との交点は(0, k²+1)であり、kは実数ですからk²+1が負になることはないので、y軸の負の部分と交わることはなく、解が異符号になることはありません。
ということで、しっかり考えてみたところ、この場合は不適として除外できます。
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