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丁寧に解説すると少し長くなってしまいますが、ご確認ください。
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x:国語の点数、y:英語の点数、n:20人
x平均=(x₁+･･･+xₙ)/n=10 → (x₁+･･･+xₙ)=10n
y平均=(y₁+･･･+yₙ)/n=12 → (y₁+･･･+yₙ)=12n
x分散={(x₁-x平均)²+･･･+(xₙ-x平均)²}/n=6.4
→ (x₁-x平均)²+･･･+(xₙ-x平均)²=6.4n
y分散={(y₁-y平均)²+･･･+(yₙ-y平均)²}/n=6.4
→ (y₁-y平均)²+･･･+(yₙ-y平均)²=6.4n
共分散={(x₁-x平均)(y₁-y平均)+･･･+(xₙ-x平均)(yₙ-y平均)}/n
→ (x₁-x平均)(y₁-y平均)+･･･+(xₙ-x平均)(yₙ-y平均)=共分散×n
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xₙ₊₁=10,yₙ₊₁=12のとき、
■新平均
新x平均=(x₁+･･･+xₙ+xₙ₊₁)/(n+1)
=(10n+10)/(n+1)=10
新y平均=(y₁+･･･+yₙ+yₙ₊₁)/(n+1)
=(12n+12)/(n+1)=12
平均は変わらない(新x平均=x平均,新y平均=y平均)
■新分散・新共分散
xₙ₊₁=x平均、yₙ₊₁=y平均であることから、
新のx分散={(x₁-x平均)²+･･･+(xₙ-x平均)²+(xₙ₊₁-x平均)²}/(n+1)
={6.4n+0}/(n+1)
=x分散×n/(n+1)･･･x分散は、もとのx分散のこと
新のy分散={(y₁-y平均)²+･･･+(yₙ-y平均)²+(yₙ₊₁-y平均)²}/(n+1)
={6.4n+0}/(n+1)
=y分散×n/(n+1)･･･y分散は、もとのy分散のこと
新の共分散={(x₁-x平均)(y₁-y平均)+･･･+(xₙ-x平均)(yₙ-y平均)+(xₙ₊₁-x平均)(yₙ₊₁-y平均)}/(n+1)
={共分散×n+0}/(n+1)
=共分散×n/(n+1)･･･共分散は、もとの共分散のこと
■(3)の計算
上記から、
・新のx分散=x分散×n/(n+1)
・新のy分散=y分散×n/(n+1)
・新の共分散=共分散×n/(n+1)
ということなので、
新の共分散A=元の共分散×n/(n+1)<もとの共分散B･･･①
新の相関係数D=新の共分散A／{新のx分散 × 新のy分散}
=共分散×n/(n+1)／√{x分散×n/(n+1) × y分散×n/(n+1)}
=共分散／√{x分散 × y分散}･･･n/(n+1)で約分できた
=もとの相関係数E･･･②
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平均、分散、共分散、相関係数の計算に慣れていると、直感的に答えが分かりますが、慣れていないと計算が大変です。
慣れていると、xₙ₊₁=x平均、yₙ₊₁=y平均のとき、「■(3)の計算」になりそうだと思いつきます。
慣れていないと、新のx分散・新のy分散の「6.4n/(n+1)」を使って計算するなどになります。
