Question

波瑠

数3極限の問題です。青波線のところで、なぜｎ＝3以降は書かないのですか？問題の設定がnは3以上ということなので調べると思ったのですが、、　解説よろしくお願いします。

)
基本 例題 22 数列の極限 (5) … はさみうちの原理 2
...
00000
nはn≧3の整数とする。
1
(1) 不等式 2">=nが成り立つことを, 二項定理を用いて示せ。
6
(2) lim の値を求めよ。
n→∞ 2n
指針 (1)2=(1+1)" とみて, 二項定理を用いる。
(a+b)"=a"+nCa"-16+nCza"262+......+nCn-1ab1+6"
基本21
(2) 直接は求めにくいから,前ページの基本例題 21同様, はさみうちの原理を用
いる。 (1) で示した不等式も利用。なお、はさみうちの原理を利用する解答の書き方
について,次ページの注意も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
nun
2-T
5
=
6
6
1
よって
2">≒n3
6
6
(2) (1) の結果から
よって
lim-=0であるから
non
6
(1) n≧3のとき
解答
2"=(1+1)"=1+1+nCa+....+nCn-1+1
≧1+n+1/12n(n-1)+1/n(n-1)(n-2)
+1/+1>1/13
6
(
| (等号成立はn=3のと
き。)
0=
mil
である
(S)
SI=A)
n=1,2の場合も不等式
は成り立つ。
<2≧1+nCi+nCz+nC3
0< <
2n
3
各辺の逆数をとる。
n²
0
2n
6|n
A
各辺に n² (0) を掛け
る。
lim-
no 2n
=0
.....
B
はさみうちの原理。

Answer 1

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和

全体の流れを踏まえるのが先かと思います

2ⁿを変形していき、(1/6)n³より大きいことを示します
ここで、イコールだけで変形する必要はなく、
　2ⁿ = (A) = (B) > (C) > (1/6)n³ ……☆
のように、>などを挟んでも、
(1/6)n³より小さい限りは問題ありません
実際、☆が示せれば、2ⁿ>(1/6)n³はいえたことになりますね

つまり、イコールでなくても、多少減らす分には問題ないので、
5項め以降を削っています
4項めに(1/6)n³を含むから、
そこまではいったん書いているわけですね

和

あまり意味なさそうですが、図も…

波瑠

解説ありがとうございます。要は1／6n ^3が出てきたからそれ以上示さなくても大丈夫ということでnC3でやめた(4以降を調べない)という解釈であっていますか‥？

和

そうですね

nC3からn³が出てくるのはあらかじめわかるので、
最初3項も初めから（≧の直後に）なくてもいいです
どの項をいったん書くかはいろいろです

波瑠

遅くなってしまいました💦追加の質問への回答もありがとうございます。

波瑠

遅くなってしまいました💦追加の質問への回答もありがとうございます。