このような不等式の証明の仕方は、大きくわけて2つあります。
①左辺、右辺の片方もしくは両方を変形する
②左辺、右辺の片方をどちらかに移行して(左辺-右辺)≧0または(右辺-左辺)≧0の形を作る。
今回は全て②で解くことができます。
⑴左辺-右辺＝2ab+1-a-2b
＝(a-1)(2b-1)
a>1、b>1/2より、a-1>0、2b-1>0なので
(a-1)(2b-1)>0すなわち2ab+1-a-2b>0であるから、与えられた不等式は成り立つ。
⑵左辺-右辺＝x²-4x+7
=(x-2)²+3
(x-2)²≧0なので、(x-2)²+3>0すなわちx²-4x+7>0であるから、与えられた不等式は成り立つ。
⑶左辺-右辺＝a²+3b²-3ab
＝(a-3/2b)²+3/4b²
(a-3/2b)²≧0、3/4b²≧0なので、(a-3/2b)²+3/4b²≧0すなわちa²+3b²-3ab≧0であるから、与えられた不等式は成り立つ。
また、等号が成り立つのは左辺-右辺＝0すなわち(a-3/2b)²+3/4b²=0のときであるから、(a-3/2b)²=0かつ3/4b²=0のときである。
よって、等号が成り立つのはa＝0かつb=0のときである。
