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以下のような感じで解きます（計算ミスなければ、答えです）
変形等での説明が少ないので、不明点あればコメントください。
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(1) t=sinθ+cosθ を2乗してみると、
t²=(sinθ+cosθ)²=sinθ²+cosθ²+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ
⇒2sinθcosθ=t²－1
y=－2sinθcosθ+2a(sinθ+cosθ)－a
=－t²+1＋2at－a
=－t²＋2at－a+1
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(2) t=sinθ+cosθ を変形してみる（三角関数の合成…加法定理）
t=sinθ+cosθ =√2(√2/2cosθ+√2/2sinθ)
=√2sin(θ+π/4) …(－π/4≦θ≦π/4)
0≦t≦√2
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(3) tで表したyの関数を使って、yの範囲を調べる
y=－t²＋2at+1－a = －(t－a)²+a²－a+1
0≦t≦√2なので、この範囲を分けて調べる
0≦a≦√2のとき、平方完成の部分の最大は0：M(a)=a²－a+1
a<0のとき、平方完成の部分の最大は－a²：M(a)=－a+1
a>√2のとき、平方完成の部分の最大は－(√2-a)²：M(a)=(2√2－1)a－1
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(4)M(a)の動く範囲を調べる
0≦a≦√2のとき、M(a)=a²－a+1=(a－1/2)²+3/4≧3/4
a<0のとき、M(a)=－a+1>1
a>√2のとき、M(a)=a>3－√2
M(a)の最小値は3/4
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ありがとうございます🙇♀️🙇♀️