Question

Harukana

中央から下の部分の別解で①式の70,21,15がどこから出てきたのか教えて欲しいです！！

の問題
問題 私の年齢を3で割った余りは 2,5で割った余りは3,7で割った
余りは4である。私の年齢は何歳か。 ただし, 105歳より下である。
練習 / 104 以下の自然数について、 次の問いに答えよ。
16
(1) 7で割った余りが4になる自然数を, 次のように書き出せ。
4 11 18
OST=2-20
(2) (1) の自然数を5で割ったときの余りをその数の下に書け。
(3) (2) 余りが3になった自然数について, 3で割った余りを更に-
の下に書き,余りが2になる自然数を見つけよ。
1
練習16から,上の問題の私の年齢がわかる。 また, 次のような計
方法もある。 3,57で割った余りがそれぞれa, b, c であるとき,
70a +216+15c
(1
を計算する。そして, ①から3,5,7の最小公倍数である 105 を引
て残りを求める。 残りが105 以上であればまた105を引くことを繰り
す。 最後の残りが答えである。 いい換えると, ① を 105 で割った余
が答えである。
もつ以上の整70α+216+15c=70・2+21・3+15・4=263
最小 263-105=158, 158-105=53
この結果から、私の年齢は53歳であるとわかる。
ひゃくごげんざん
じんこう
この方法は百五減算と呼ばれるもので、江戸時代の数学書 『塵劫
こ同様な問題と解答が記されている。
←263105で
と余りは 53

Answer 1

Take

Harukanaさま
自然数Nを3,5,7で割った余りがそれぞれa,b,cであるとき、
準備として
・3を除いた5・7=35の倍数で、mod3で1となるものは70
・5を除いた3・7=21の倍数で、mod5で1となるものは21
・7を除いた3・5=15の倍数で、mod7で1となるものは15
を求めておきます。
そして　N=70a+21b+15c　とすれば、
　N≡1・a+0+0≡a　(mod3)
　N≡0+1・b+0≡b　(mod5)
　N≡0+0+1・c≡c　(mod7)
となるしくみです。

Harukana

1となるものを考えるのはどうしてですか！

Take

Harukanaさま
1となるものではなく、たとえば、2となるものだと
・3を除いた5・7=35の倍数で、mod3で2となるものは35
・5を除いた3・7=21の倍数で、mod5で2となるものは42
・7を除いた3・5=15の倍数で、mod7で2となるものは30
となります。
そして　N=35a+42b+30c　とすれば、
　N≡2・a+0+0≡2a　(mod3)
　N≡0+2・b+0≡2b　(mod5)
　N≡0+0+2・c≡2c　(mod7)
となって、右辺の２がじゃまになります。
ただ、1となるもの以外を考えるのは大切な思考です。
次の別解も参考にしてください。
(別解)
元の問題の「私の年齢」を3,5,7で割った余りがそれぞれ2,3,4なので、
準備として
・3を除いた5・7=35の倍数で、mod3で2となるものは35
・5を除いた3・7=21の倍数で、mod5で3となるものは63
・7を除いた3・5=15の倍数で、mod7で4となるものは60
を求めておきます。
そして　N=35+63+60=158≡53　(mod105)　とすれば、
これが私の年齢になります。