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(2)（連結性）
Iが弧状連結であることを示せば十分。
任意の2点p, q∈I をとる。p≦qとして一般性を失わない。
p<r<qを満たす任意の実数rに対して、r∈Iとなることを示せば良い。これを示そう。
p, q∈Iだったから、
a_n → 0 かつ、f(a_n) → p
b_n → 0 かつ、f(b_n) → q
となる(0, 1]上の点列{a_n}, {b_n}が取れる。
ε= min{|p-r|, |q-r|}
とおくと、このεに対して、ある自然数Nが存在し、n≧Nならば
|f(a_n)-p|<ε、|f(b_n)-q|<ε
が成り立つ。ここから特に、n≧Nならば
f(a_n)<r<f(b_n)
が成り立つ。fは連続関数だから、任意のn≧Nに対して、中間値の定理より、
a_nとb_nの間のある実数c_nが存在して、
f(c_n) = r
となる。特にf(c_n) → rである。
またc_nはa_nとb_nの間だから、a_n, b_n>0に注意すれば
0 < c_n < max{a_n, b_n} < a_n+b_n
であり、はさみうちの原理より、
c_n → 0である。
以上よりr∈Iが示された。
（閉集合）
Iの任意の点列{y_n}と任意の実数yに対して「y_n→yならばy∈I」を示せば良い。
{y_n}をIの任意の点列、yを任意の実数とし、y_n → y としよう。
各nに対して、y_n∈Iよりある点列{a_nm}が存在して（nmは２つの添字を表す）、
（★） a_nm → 0 （m→∞）、f(a_nm)→y_n （m→∞）
が成り立つ。
nを任意の自然数とする。
このとき、ある自然数Nが存在して|y_N - y|<1/nとなる。
このy_Nに対して、(★)より、ある自然数Mが存在して
a_NM<1/n、|y_N - f(a_NM)|<1/n
が成り立つ。このa_NM（のうちの一つ）をx_nとおく。
すると、
0<x_n<1/n よりx_n → 0かつ、
|y-f(x_n)|≦ |y-y_N| + |y_N - f(x_n)|<2/n よりf(x_n) → yである。
以上よりy∈Iである。
こんな感じかと思います。
ありがとうございます。参考にさせていただきます。