Question

さくら

2階定係数線形常微分方程式についてです。
この問題には答えのみが着いており解説はついていないものです。答えのみであれば正しいと分かったのですが、問題文にある、M(x)についてを全く使わずにその答えが出てしまいました。そのため本当に正しい解き方だったのか、たまたま正解していたのかがわかりません。そのため確認して教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします🙇‍♀️

練習問題2 図のような, 両端がピン (回転支点)で移動しない長さの長柱(0≦x≦りに,
上から軸方向に荷重をかけると、下から荷重と同じだけの反力が働く。 荷重を次第に大き
くしていき, 弾性座屈荷重Pに達したとき,この柱は図のような座屈を起こした。
座屈が始まるときの柱のたわみぃ (x)は, P=E1k2 を満たす正の数をkとして,
v"(x) = −k²v(x)
であることが知られている。 ただし曲げ剛性EIは定数である。
このとき,両端は移動しないのでたわみは0となり, v(0)=v(1) = 0 である。
また,両端がピンなので曲げモーメントM(x)=-EIv" (x)は0となり,
M(0)=M(l) = 0 である。
これらの関係から(x), P, および座屈長さ (波長の半分) を求めなさい。
(補足: 長柱の座屈の問題において, v(x)の方程式は, 微分方程式を解くことによって求
まることが知られている)
00
P

12
q(x) = - Rear (x)
& "(x) + k² qxx) = 0 q } + z by z qt ₁z N + k = 0 -- λ = 1 kv
よって一般解
8.2 -1/2 {]]. Uue-Cost x + Col° Sinfex = Cicos fax + Ca Sintex
W(0) - Well-0 ₤4 Uco)=00= C₁ W(e) = c Costel + Co Sinted -0.
2
2
1
(1=OSUA (e) = C2Sinkel=0 (240 ^ Sinkel=0 fl-mv k = 1
625in TV 20
212
IT
1
Joz q^ex) = (x Sin & xxl P=6&² = 62 T² - E²x²
2l
n = 1 = el lk = = = "
I
I

Answer 1

哲治

vについては簡単な単振動型の微分方程式なので答えは瞬殺。
M(0)=M(l)=0
は微分方程式の初期条件として与えられてます。

さくら

回答して下さりありがとうございます。
M(0)=M(l)=0はどのタイミングで使えば良いのでしょうか…

哲治

たぶんこんな感じ。

さくら

そういうことなんですね！分かりやすく書いて下さりありがとうございます。
では問題を解く時には、その時に使っている式に合わせて、使わないものが出てしまっても大丈夫ということでしょうか。

哲治

M自体がv"の定数倍という関係なんで僕が書いたそうなってるだけですね。
vの微分方程式自体解くのにはMは全く関係ないです。
単なる単振動型の１番簡単な微分方程式なんで。