Question

れん

どこで間違えたのでしょうか？不定積分(原始関数)を求める問題です、
xsinx+cosxになるはずですがなりません
教えて頂きたいです🙏

csinz)-siùx
Siux+XCOSX -siuX s て cos2(
[4) Xcosズ い

Answer 1

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なぜその式変形をしたのかが謎ですが…。
cosx を積分、x を微分する形で 部分積分法 を使ってみてください。

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一応途中式も記しておきます。

∫ xcosx dx
＝ sinx･x－∫ sinx･1 dx
（積分してそのまま、引くことの ∫ 積分して微分）
＝ xsinx＋cosx＋C（C は積分定数）

となります。

れん

ヒントとして、 (xsinx) = x cosx + sinx なので, xsinx に何かを足すか引けばよさそう。
という文が載っていました。説明不足ですみません

ログアウト済み

なるほど。そのヒントで解くならば、
(xsinx)’ ＝ xcosx＋sinx より、
xcosx ＝ (xsinx)’－sinx。
両辺積分して、
∫ xcosx dx ＝ ∫ {(xsinx)’－sinx} dx
⇒ ∫ xcosx dx＝ xsinx＋cosx＋C
（xsinx を微分して積分したら xsinx）
となります。

このように、(xsinx)’ ＝ xcosx＋sinx を利用しても解けますが、
∫ xcosx dx
＝ sinx･x－∫ sinx･1 dx
＝ xsinx＋cosx＋C
の方が一般的な解き方になります。

れん

なるほど！！理解できました
ご丁寧にありがとうございます！

Answer 2

mo1

参考・概略です

部分積分

∫f(x)･g'(x)dx＝f(x)･g(x)－∫f'(x)･g(x)dx

―――――――――――――――――――――
　f(x)＝x、g'(x)＝cos(x)　として、

　f'(x)＝1、g(x)＝sin(x)　となるので

―――――――――――――――――――――
∫x･cos(x)dx＝x･sin(x)－∫1･sin(x)

　　　　　　＝x･sin(x)－∫sin(x)

　　　　　　＝x･sin(x)－(－cos(x))

　　　　　　＝x･sin(x)＋cos(x)