-
![]()
400
基本 例題 239 定積分で表された関数の微分
次の関数を微分せよ。
について
(1) f(x)=f(t-x) sintdt
ことを証明
(2) f(x)=xlogydt(xン
1
(大)
指針▷(1) p.399 基本事項 ②① off(t)dt=f(x) (αは定数)
(ここで, 積分変数は tであるから, 積分の計算で x
は定数として扱う。
Sot-x)sintdt=S,tsintdt-x, sintdt と変形するとわかりやすくなる。
193 整式(x)は3次以下で、次の
解答
- 積分変数と関係のない文字 x を定積分の前に出す。
(2)p.399 基本事項 ② ② を利用してもよいが,下の解答では,
じように,f(t) の原始関数をF(t) として考えてみよう。
(1) f(x)=f(t-x)sintdt=Sotsintdt-xSo sintdt示。
120
よって
(x-10g2px
を求め
公式を導いたときと同
xは定数とみて、定積分の
前に出す。
f(x)=aSotsintdt-{(x)'S, sintdt+x(axS, sintat)} x5
195
1x
=xsinx-(Sosintdt+xsinx) = [cost] =
J0
=cosx−1 (1,1)の値
int dt の微分は,積
の導関数の公式を利用。
(uv)'=u'v+uv'
(1
表せ。ただかは自然とする。
1
(2)
の原始関数をF (t) とすると
logt
()()=6(1
1
logt
Stadt
dt=F(x3)-F(x2),
F'(t)=-
定積分の定義。
logt
0196
よってf(x)=
x1
1
dt=F'(x3)(x3)'F'(x2)(x2)
合成関数の導関数。
dx
2 logt
すな
32
2x
x x²-x
ことを10gx3 10gx210gx 10gx
log
d
別解
Smif(t)dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h(x) を用いSoftは既知の関数で表
dxh(x)
logt
八
1
すことはできないことが知
るとf'(x)=
• (x³)'.
10gx3
10gx2
(x)=xられている。
3x²
2x
HIND
x²-x
b
23logx
210gx
2logx logx
の
(x)`A((x)\)³R—(x) \((x))\\\=
