線を引いた部分の意味がわからないです なぜその時二重解を持つ条件になるのでしょうか

105 基本例題65 3次方程式が2重解をもつ条件 OOOO0 3次方程式x°+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように,実数の定数aの値を定 めよ。 ( 類東北学院大) 基本 63 指針> 方程式(x-3)°(x+2)=0 の解x=3を, この方程式の 2重解 という。 また, 方程式(x+2)(x-2)=0 の解x=-2を,この方程式の 3重解 という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)× (2次式)3D0 の形に直す。 方程式が(x-a)(x?+px+q)=0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x+px+q=0が重解をもち, その重解は xキα [2]_x°+px+q=0がαとa以外の解をもつ。 であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが,重解がxキαである(x=αが3重解で はない)ことを必ず確認するように。 2章 → 2重解は x=a 11 であ て、 り立 解答 与えられた3次方程式の左辺をaについて整理すると (x-4)a+x°-2.x°=0 イ次数が最低のaについて 整理する。また P(x)=x°+(a-2)x-4a とすると P(2)=0 よって, P(x) はx-2を因 立 ) ( (x+2)(x-2)a+x°(x-2)=0 (x-2){x?+(x+2)a}=0 (x-2)(x°+ax+2a)=0 x-2=0 または x°+ax+2a=0 この3次方程式が2重解をもつのは, 次の [1] または [2] の場 数にもつ。 よって これを利用して因数分解し てもよい。 0-2+0 0-2+ 合である。 [1] x+ax+2a=0がxキ2の重解をもつ。 a 42次方程式 Ax+ Bx+C=0 の重解は B 24 (1-) 判別式をDとすると D=0 かつ - キ2 2-1 みよ。 D=a°-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0とすると a=0, 8 X=ー a ここで、 キ2から 2-1 aキー4 a=0, 8 はaキー4を満たす。 [2] x+ax+2a=0 の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は これを解いて このとき,方程式は [2] 他の解が2でない, とい う条件を次のように考えても よい。 他の解をBとすると, 解と 係数の関係から28=2a Bキ2から aキ2 22+a·2+2a=0 a=-1 (x-2)(x-x-2)=0 (x-2)(x+1)=0 したがって ゆえに,x=2 は2重解である。 以上から a=-1, 0, 8 ①について 練習 aを実数の定数とする。3次方程式x+(a+1)xーa=0 65 (1) が2重解をもつように, aの値を定めよ。 (2) ① が異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。 高次方程 式

この問題で、判別式はb²-4ac のことで良いのでしょうか？また、判別式を使うとどうなるのでしょうか？使う意味というか、問題全体の解き方がわからないです。 また、D＝0とするなどの意味もわからないです。 質問がざっくりとしていて申し訳ないのですが、全体的に分からないので、教... 続きを読む

3次方程式が2重解をもつ条件 3次方程式x+(a-2)x-4a=0が2重解をもっように、実数の定数aの値をた 105 数とした。 いる(この めよ。 [類東北学院大] 指針>方程式 (x-3)°(x+2)=0 の解x=3を, この方程式の 2重解 という。 また, 基本 63 印·差·積 護素数であ 芸数を係数。 こついて、 こが成り立 方程式(x+2)°(x-2)=0 の解x=-2を, この方程式の 3重解 という。 まず,方程式の左辺を因数分解して, (1次式)× (2次式)=0 の形に直す。 方程式が(x-a)(x°+ px+q)F0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x?+px+q=0が重解をもち, その重解は xキa [2] x+ px+q=0がαとα以外の解をもつ。 であるが,一方の条件を見落とすことがあるので, 注意が必要である。 なお,[1]は,2次方程式の重解条件と似ているが、 重解がxキαである(x=aが3重解で はない)ことを必ず確認するように。 2章 → 2重解は x=α 11 解答 欠式。 与えられた3次方程式の左辺をaについて整理すると (x°-4)a+x°-2.x?=0 (x+2)(x-2)a+x"(x-2)=0 (x-2){x°+(x+2)a}=0 (x-2)(x+ax+2a)=0 イ次数が最低のaについて 整理する。また P(x)=x°+(a-2)x-4a とすると P(2)=0 よって, P(x) はx-2を因 数にもつ。 -qit これを利用して因数分解し てもよい。 よって x-2=0 または x°+ax+2a=0 この3次方程式が2重解をもつのは, 次の [1] まなは[2] の場 合である。 [1] x?+ax+2a=0がxキ2の重解をもつ。 すし 2番り体る。 a -キ2 2·1 42次方程式 Ax°+Bx+C=0 の重解は 判別式をDとすると D=0 かつ てみよ。 D=a°-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0 とすると a=0, 8 B X=ー 2A キ2から 2.1 aキー4 a ここで, a=0, 8 はaキー4を満たす。 [2] x°+ax+2a=0の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は これを解いて このとき,方程式は [2] 他の解が2でない,とい う条件を次のように考えても よい。 他の解をBとすると, 解と 係数の関係から 28=2a Bキ2から aキ2 22+a-2+2a=0 a=-1 (x-2)(x-x-2)=0 したがって ゆえに,x=2 は2重解である。 以上から a=-1, 0, 8 のについて aを実数の定数とする。3次方程式x+(a+1)xーa=0 … aの値を定めよ。 練習 であ 65 (1) のが2重解をもつように, (2) のが異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。 高次方程式

赤い四角の部分が何のために判別式を持ってきているのかわかりません。 3q^2+1 > 0 だから異なる２つの実数界解を持つのは分かりますが、なぜ④が異なる２つの実数解をもつ必要があるのですか？ 教えていただけると嬉しいです。

頭出 例題21 楕円の2接線が直交する点の軌跡 +y=1…① に引いた2本の接線が直交すると 4 点P(p, q) から楕円 ア き,点Pの軌跡を求めよ。 軌跡の問題である。 山 軌跡を求める点PはP(b, q)とおかれている。 かのの関係式を求めたい。 P(b,の) 2 与えられた条件を式で表す。 未知のものを文字でおく 0 x 2本の接線の傾きを考える。 → 接線をyー9=m(x-p) ② の形でおく。 条件の言い換え 《CAction 直交する接線は, 重解条件と垂直条件を利用せよ のと2を連立した方程式を③とすると 例題 20 mの2次方程式 ① と②が接する → (③の判別式)= 0 条件の →のを満たす実数 m が2つある。 しm, ma とすると 条件 より mim2 = -1 (接線が2本ある 3 2の式からか, q以外の文字を消去して, か, qの式を導く。 4 除外点がないか調べる。 解(7) 点Pを通る直線 x=D b が楕円 に接するとき よって, 4点(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1) から, 直交 する楕円の接線 x = ±2, y= ±1 (複号任意) が引ける。 )pキ±2 のとき 接線はy軸と平行でないから, 点 点Pを通る直線は x = p または y-q= m(x-b) 頂点における接線 x= ±2, y= ±1(複号 任意)の交点である。 11 p= ±2 0 -1 P Pを通る直線は yーq= m(x-) y= m(x-b)+q とおける。 0, 2を連立すると x*+ 4{m(x-b)+qド=4 (4m°+ 1)x-8m(mp-9)x+4{(mp-q)°-1}=0…③ 楕円のと直線2が接するとき, 2次方程式 ③ の判別式 を D,とすると 0 x 14m°+1キ0 より, ③ は xの2次方程式である。 D、= 0 D、 - 16m° (mp-g)-4(4m° + 1){(mp-q)°-1} 4 思考のプロセス|

青チャート1Aの高次方程式です。四角で囲ったところが分かりません。解説お願いいたします。

第65 3次方程式が2重解をもつ条件 例題 105 水方屋式で+(a-2)x-4a=0 が2重解をもつように, 実数の定数aの値を定 O((類東北学院大] めよ。 捜素数とした。そ っている(このこ 基本 63 方程式(x-3)(x+2)=0 の解x=3を,この方程式の 2重解 という。 また, 新武 方程式(x+2)°(x-2)=0 の解x==2を,この方程式の 3重解 という。 方程式が(x-a)(x+ px+q)=0 と分解されたなら,2重解をもつ条件は ロ%3Dx [1] x°+px+q=0が重解をもち,その重解は xキα 121 x+ px+q=0がαとa以外の解をもつ。 →2重解は x=α 2章 であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解が xキαである(x=aが3重解で 11 女の和·差·積、 三た複素数である 複素数を係数と 式について, 割 等式が成り立つ。 高 はない)ことを必ず確認するように。 の 次 方 程 式 えられた3次方程式の左辺をa について整理すると 次数が最低のaについて 整理する。また P(x)=x°+(a-2)x-4a とすると P(2)=0 n次式。 さ立 ース) 8 (x-4)a+x°-2x=0 (x+2)(x-2)a+x°(x-2)=0 (x-2)(x°+(x+2)a}=0 (x-2)(x+ax+2a)=0 x-2=0 またはx°+ax+2a=0 ー よって, P(x) はx-2を因 数にもつ。 これを利用して因数分解し 天爪 p-giも よって てもよい。一 0-3+88- この3次方程式が2重解をもつのは,次の[1] または [2] の場 に対し 合である。 D+ax+2a=0 がxキ2の重解をもつ。 利別式をDとすると a キ2 2-1 (2次方程式 D=0 かつ めてみよ。 Ax?+Bx+C=0 の重解は D=d-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0とするとa=0, 8 (-)B】 (1-)(1 2A)(1-) X=ー a ここで, -+2 から aキー4 2-1 =0, 8はaキー4を満たす。 |+ax+2a=0 の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は これを解いて このとき,方程式は したがって 8-キ1-0 )-ネー= [2] 他の解が2でない,とい う条件を次のように考えても よい。 に分け+ 7 他の解を8とすると, 解と 係数の関係から 28=2a Bキ2から aキ2 て 22+a-2+2a=0 10 a=-1 (x-2)(x?-x-2)=0 (x-2)(x+1)=0 等式の花 えに,x=2は2重解である。 以上から 0が得しれる 星であ a=-1, 0, 8 aを実数の定数とする。3次方程式x°+(a+1)x-a=0 ( 50のが2重解をもつように, aの値を定めよ。 …… 1 について い。 11が異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。

黄色の線の所でこれが言えるのは、接線の本数は、接点のaの個数によるからb=(a-1)e^aの実数解の個数に等しいって言うことですか？

(3) 点(0⑩。 のを通る. 関数ターーe* のグラフの拉線の本 1』およ び変曲点を調べて. = の増減, 板値.ケラ フの凹凸 1 62Dess0 を他ってょい (2) 関数ヶニーzzっケララッェ 2 2 フフ上の点 (。. と ) における接線が点 (0. グラフをかけ. だ 交 ら) を通るとき. 。 2の関係 数を調べよ. 東京電機大) (曲線上にない点から ) 人 内 の (e 和析 リーバ) に挨線を引くことを考えよう. 曲が放 革さこ Wh ター(テーg)十らとおいて, これが放物 重 ・ 数皿の関数" の場合 この場合は 接点からスター トする′ のがポイン トであ 「曲線上の点である接点 を る. は重解条件でとらえることは・ すなわち (7の) と設定する と. 程式 2らい 、 ターガ(の(ーの+テ(のでぁり. のの ヵ) イイ と の 2 のである. この条件はの方程式 人の 本) が で表されるが, その異なる実数解の個数が接点の個 了 数 すなわち応 (o。 癌2このできる挨の本贅に他ならなかい ヘムて 人 | 2 が存在しをいときの話) 【牧という りり - 時解答置 い !入1) ア⑦)=(zー1)er とぉくと」 にEE。 回生】 本折 隔| 、 プ((Z)ニe*十(ァー1) ezニ ァァ 6別馬|講|詳LO 1ュ| 2がの プ"(Z)ニe"二zeー(ァ1) ez | |0 |+|+ 開 により, 増減・凹凸は右のようになる. プ(z) NN 2 P の 7ZKz)50 Jamア(<)=o 1 により, ッニア(z) のグラフは図のようになる. ~條細: (2) ーーののとき, ーーとであるから, っ計。 - ) における接線の方程式は, 6で8 ヶタニーe7(ァーZ) 一ge? これが点 (0, 6) を通るとき, 2ニーe2(0-の)ーge し 6ー(gZ一1) e“ (3) 点@ の) からヶニー@e* に引ける接線の本数は, 9三(2一1)g< ij ⑨① で%ニー〆 は上に凸であるから, こ の太相江だ記なときの相異なる実数胡の個数に等しい。 ①で Zcpz にすると 本 て な い。 0 品 2 それは直線ッニ2 と曲線ッーア(z) の異なる共有点の個数に等しい. が異なれば接線も 異なる」が成り )硫 (1 )のグラフにより, その個数は, 立つ. めくー1 6=ーュ ー1く6ぐ0 0ミら6 中 2 1 同 個数 ーーー の12 演習題 (角谷はp59) ーーーーフーーパパ {ntn〔O〔 座標平面上の曲線 C : ッーe-“" について (1 ) 曲線の上の点 (7/。 e-⑦) における接線の方程式を求めよ、 (2 ) (1)で求めた拉線が点 (Z, 0) を通るとき, と7の関係式を求めよ。 (3 ) ?動上の点 (Z。 0) (Z>0) から曲線Cに接線を引くとき, 何本かの接線を引くこ とができる. このとき, それぞれの接線における接点の個数を合計すると 3 になるよ うなのの値の範囲を求めよ. 1 (3) 本回の場合 拉 | 線が存在するので, 問題 ! 文がもって回った表現に (大・情報エー後) 1 2

接点Bの座標の求め方を教えてください お願いします

ト また, 円Cと ABに対して, 線分ABの中点を

オレンジのとこ、なぜそうなるのですか。 右の三角のところ見ても分かりませんでした。教えてくださいm(*_ _)m

3 次方程式 *"十(2一2)x2一4Z三0 が2 重解をもつように, 実数の定数 。 の値を定 めよ。 [上類 東北学院大] 。 基本 63) 指針 方程式 (xー3) (x+2)=0 の解 x=ニ3 を, この方程式の 2 重解 という。また, 方程式 (x十2)"(xー2)=0 の解>ニー2 を, この方程式の 3 重解 という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1 次式) x(2 次式)三0 の形に直す。……… 方程式が xーe)(x?十ヵx填の)ニ0 と分解されたなら, 2 重解をもつ条件は 1] 十がx二=テ0 が重解をもち, その重解は xキo [2] “十jx二9=ニ0がoとo以外の解をもつ。 一っ 2 重解は >=ニo であるが, 一方の条件を見落とすことがあるので, 注意が必要である。 なお, |] は, 2 次方程式の重解条件と似ているが, 重解が キッ である(xc が 3 重解で はない)ことを必ず確認するように。 人 与えられた 3 次方程式の左辺を 2 について整理すると 次数が最低の 々 について (2ー4)2+%?ー2ァ*ー0 Se (x+2)々ー2)g+Y(xー2)=0 人 PA 本に (ァー2)z?十(*十2)2}=テ0 よって, ア(z) はー2 を因 (ァー2)(x?2十gz十2g)=テ0 数にもつ。 計って ァー2三0 または.。ァ*十gz十2Z三0 これを利用して因数分解し との 3 次方程式が 2 重解をもちつのは, 次の [1] または [2] の場 | てもよい。 合である。 日| ダ十Zx十2g三0 が *キ2 の重解をもつ。 判別式をのとすると の=0 かつっ =症Y2 42 次方程式 : 人4“博士C三0 の重解は | 2=〆-4.2g=g(Z8) であり, D=0とすると gc=0.8 1 のoo タニーーー- ke -昔ややか5 gキー4 キー4 を満たす。 他の解が 2 でない。 | [2] 他の解が 2 でない,. とい 6270でーー う条件を次のように考えても よせ8 他の解を#とすると、解と (ァー2)(ヶデーテー2)ニ0 係数の関係から 28=2g ン (ァー2)*(々1)=0 2r2から em2、。。 講にァ-2は 2 重解である。 Me から g三ー1。 0. 8

185番が難しくて回答見ても分かりません。 教えてください！

2 円 **オキッツー10 と直線 *ー3ッオー0 が接するとき, 定 _ 座標を求めよ。 2 、、 ん 中心が(3.0) で. 直線4ヶ王3ツー2三0 に接する円の坊租弐

この問題の解き方を教えてください🙏

[宣解条件] クラ 2 次方程式 <一2gz十一2を十2 =0 が重解をもつように, 定数を の値を定めよ。また, そのときの 重解を求めよ。

［1］はx≠2なのに、どうやって2重解となるのでしょうか？

区軸D5 3次?生誠5っ | 太程式y+(6-の) | ぁよ。 ダー4g二0 が 2 重解をもつように。 実数の定数なの値を定 了 EE 5 基本63 ) 指針に方程式 で-9YGe+=o の解*ご3 を, 方程式 (y十2)*ヶー2)=0 の解>=N、2 まあ、 > う まず, 方共の誠る較な 1 KR 0 7 方程式が (xー)(x?二x+の)=0 と分解されたなら, 2 重解をもつ条件は 1] px十=0 が重解をもち. その重解は ヶキo [2] タ十2の=ニ0 がとっ以外の解をもつ。 ープ 2 重解は =g であるが, 一方の条件を見落とすことがあるので. 注意が必要である。 褒お旧] は, 2 人方程式の重解条件と似ているが, 重解が <キッ である(ァーゥが 3 重解で はない)ことを必ず確認するように。 この方程式の 2 重解 という。また. 旧放和仁 号えられた 3 次方程式の左辺を 。 について整理すると 次数が最低の 々 について (z2ー4)2上ー2ァ2=0 整理する。また (e+2)(ヶ2)z+ xxー2)=0 のOp全ーーュ に 2 三 2 (*-2(z +(@寺20 よって, PG) はァー2 を因 (*ー2)(ヶ*十Z のり 数にもつ。 二0 または ァ“十gz十2gテ0 これを利用して因数分解し てもよい。 6 3 42 次方程式 4z?二戸x十=0 の重解は ぢ EZ [2] 他の解が 2 でない, とい う条件を次のように考えても よい。 他の解を』とすると, 解と 係数の関係から 28=2g 6@キ2 から 6キ2