Question

薬学部1年生

赤い四角の部分が何のために判別式を持ってきているのかわかりません。
3q^2+1 > 0 だから異なる２つの実数界解を持つのは分かりますが、なぜ④が異なる２つの実数解をもつ必要があるのですか？
教えていただけると嬉しいです。

頭出
例題21
楕円の2接線が直交する点の軌跡
+y=1…① に引いた2本の接線が直交すると
4
点P(p, q) から楕円
ア
き,点Pの軌跡を求めよ。
軌跡の問題である。
山 軌跡を求める点PはP(b, q)とおかれている。
かのの関係式を求めたい。
P(b,の)
2 与えられた条件を式で表す。
未知のものを文字でおく
0
x
2本の接線の傾きを考える。
→ 接線をyー9=m(x-p) ② の形でおく。
条件の言い換え
《CAction 直交する接線は, 重解条件と垂直条件を利用せよ
のと2を連立した方程式を③とすると
例題 20
mの2次方程式
① と②が接する → (③の判別式)= 0
条件の
→のを満たす実数 m が2つある。
しm, ma とすると
条件 より mim2 = -1
(接線が2本ある
3 2の式からか, q以外の文字を消去して, か, qの式を導く。
4 除外点がないか調べる。
解(7) 点Pを通る直線 x=D b が楕円
に接するとき
よって, 4点(2, 1), (2, -1),
(-2, 1), (-2, -1) から, 直交
する楕円の接線
x = ±2, y= ±1 (複号任意)
が引ける。
)pキ±2 のとき
接線はy軸と平行でないから, 点
点Pを通る直線は
x = p または
y-q= m(x-b)
頂点における接線
x= ±2, y= ±1(複号
任意)の交点である。
11
p= ±2
0
-1
P
Pを通る直線は
yーq= m(x-)
y= m(x-b)+q
とおける。
0, 2を連立すると
x*+ 4{m(x-b)+qド=4
(4m°+ 1)x-8m(mp-9)x+4{(mp-q)°-1}=0…③
楕円のと直線2が接するとき, 2次方程式 ③ の判別式
を D,とすると
0
x
14m°+1キ0 より, ③ は
xの2次方程式である。
D、= 0
D、
- 16m° (mp-g)-4(4m° + 1){(mp-q)°-1}
4
思考のプロセス|

= -4(mp-q)。 +4(4m° +1)
= 4{(4- が)m° +2pqm+1-q}
(4-が)m°+2pqm+1-q° =0
4-がキ0 であるから, mについての2次方程式④の
2つの解を mi, m2 とすると, mi, m2 は2本の接線の傾
1
章
よって
pキ+2 より 4-がキ0
きを表す。
2本の接線が直交するとき mm2 =D -1 であり, 解と
係数の関係より
Mim2
4-が
1-g°
4-が
よって
=-1
が+° = 5(カキ ±2)
ここで,④の半判別式を D. とすると
D。
=Dが+4g°-4
が+°=D5 より
が=5-
P
= 3g°+1>0
0
ゆえに,すべてのqについて④は
異なる2つの実数解をもつ。
よって,点Pの軌跡は
x°+ y° =5(xキ ±2)
1点Pが楕円の外部にある
とき が+4g°>4 より
D。>0 となり④は2つ
の実数解をもつ, と考え
てもよい。
-2
2
-1
(ア),(イ)より,求める点Pの軌跡は
円°+ y°=5
4()で求めた軌跡に (ア)の
4点を加えると
円 x+y°=5全体とな
5
1
、5
る。
¥5
-202
x
-1
Point 楕円の2接線が直交する点の軌跡
例題 20 の Point (2) で学習したように
放物線C に引いた2本の接線が直交す
るような点Pの軌跡は放物線Cの準
線である。
一方,例題 21で学習したように, 楕円
Cに引いた2本の接線が直交するよう
な点Pの軌跡は円となる。この円を楕
円Cの準円という。
図1
図2
準円
準線
一般に,楕円
=1 の準円は x+y° =d+8 となる。
6°
.① に引いた2本の接線が直交するとき, その交点Pの
練習21 楕円 2x+y? =D2…
軌跡を求めよ。
51
→ p.59 問題21
の
|22次曲線と直線

楕円の2接線が直行する点の軌跡