✨ ベストアンサー ✨
解けている部分も復習のために書きます.
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円C: (x-1)^2+(y+2)^2=5^2は中心(1, -2), 半径5の円を表す.
直線ℓがこの円Cと接するためには円Cの中心と直線ℓの距離が円の半径5に相当すればいいから
|4*1+3*(-2)-k|/√(4^2+3^2)=5⇔|-2-k|=25
このうちk>0である解はk=23である. すなわち直線ℓの方程式は4x+3y-23=0である.
円Cから直線ℓへ下した法線mを考える. この方程式は3x-4y-11=0である.
[直線ax+by+c=0に垂直な方程式はbx-ay+d=0で与えられます. あとは円の中心座標を代入してdを決めます]
直線ℓと直線mの交点が接点Bと一致する[これは円の性質です. 図を書いてみよう]からB(5, 1)と求まる.
[これは直線ℓと直線mの連立方程式を解けばよい.]
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[別解] 計算の手間を見ると, この問題ではあまりいい解法でないことが分かります.
円Cと直線ℓの交点が1個のとき, その交点が接点Bである.
4x+3y-23=0⇔y=-(4/3)x+23/3を円Cの方程式と連立させると
(x-1)^2+{-(4/3)x+23/3+2}^2=5^2
⇔9(x-1)^2+(-4x+29)^2=9*5^2
⇔9x^2-18x+9+16x^2-232x+841-225=0
⇔25x^2-250x+625=0
⇔25(x-5)^2=0⇔x=5
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この方法を採用するなら円Cと直線ℓの方程式を連立→得られた判別式D=0[重解条件]→解の公式からx=-b/2a
とkと接点座標を同時に決めた方がいいです. ただし2次方程式を解く手間は1次方程式を解く手間より上なので時間が掛かります.
ご丁寧にありがとうございます！！！！
助かります🙇♂️🙇♂️
[訂正]
円Cの中心(1, -2)から直線ℓへ下した垂線mを考える