✨ ベストアンサー ✨
分母x^2-x-1≠0に注意する. このとき(x^2-x-1)f(x)=x^3-2x^2+2x-2.
両辺をx≠(1±√5)/2で微分すると, (2x-1)f(x)+(x^2-x-1)f'(x)=3x^2-4x+2
⇔(x^2-x-1)f'(x)=(3x^2-4x+2)-(2x-1)f(x)
⇔(x^2-x-1)^2f'(x)=(3x^2-4x+2)(x^2-x-1)-(2x-1)(x^3-2x^2+2x-2)
⇔(x^2-x-1)^2f'(x)=x^4-2x^3-3x^2+8x-4=(x-2)(x-1)^2(x+2)
⇔f'(x)=(x-2)(x-1)^2(x+2)/(x^2-x-1)^2 [商の微分を実行してもよい]
x<-2でf'(x)>0, -2<x<(1-√5)/2でf'(x)<0なのでx=-2で極大値-22/5をとる.
(1-√5)/2<x<(1+√5)/2でf'(x)<0だからこの区間では単調減少, x=1では変曲点となっている.
(1+√5)/2<x<2でf'(x)<0, 2<xでf'(x)>0なのでx=2で極小値2をとる.
あとは漸近線を調べればよく
f(x)=(x-1)-{(2x-3)/(x^2-x-1)}なので, 区間x<-2, 2<xの範囲にあるグラフの漸近線はy=x-1である.
これはlim[x->±∞] {f(x)-(x-1)}=0から分かる.
またx=(1±√5)/2も漸近線になっている.
これはlim[x->(1-√5)/2-0] f(x)=-∞, lim[x->(1-√5)/2+0] f(x)=+∞
lim[x->(1+√5)/2-0] f(x)=-∞, lim[x->(1+√5)/2+0] f(x)=+∞から分かります.
あとx^3-2x^2+2x-2=0の実解がx=1.54と1.55の間である[中間値の定理の利用]ことに注意します.
これらの情報からグラフの概形が書けます[自分で書いてみて, GeoGebraやWolframAlphaの結果と比べてみよう].
ありがとうございました！
質問なんですが、x=1が変曲点になるのはなぜですか？y” がわからなくてもわかるんですか？お願いします🙇♀️
いい質問です.
この問題の場合は分子の(x-1)^2の2乗が変曲点を持つことを表しています.
これは商の微分法は積の微分法の系[一部]であることを思い出すと分かるはずです.
f'(x)={p(x)}^2*q(x)r(x)s(x) [p(x)=x-1, q(x)=x-2, r(x)=x+2, s(x)=1/(x^2+x+1)と考えよう]
を商の微分法を利用して微分すると
f''(x)=2{p(x)}p'(x)q(x)r(x)s(x)+{p(x)}^2q'(x)r(x)s(x)+{p(x)}^2q(x)r'(x)s(x)+{p(x)}^2q(x)r(x)s'(x)
なので必ずp(x)を共通因数に持つことが分かります.
[Wolfram Alphaによるとf''(x)=2(x-1)(2x^2-7x+8)/(x^2-x-1)^3. これはさすがに計算したくないですよね]
[参考]
GeoGebraで書いたグラフです[答えが分かる程度しか加工していません].