正弦定理と余弦定理の2本立ての問題です.
***
まず外接円の面積は6π=π(√6)^2と書けるので外接円半径は√6です.
したがって正弦定理からa=2√6sinA, b=2√6sinB, c=2√6sinCと表せます.
辺の比と対応する正弦の比が等しいことに注意します. 余弦定理から
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(5^2+4^2-7^2)/(2*5*4)=-1/5[負なので最大角は鈍角].
したがってsinA=√(1-cos^2A)=2√6/5と計算できます[Aは三角形の内角なのでsinA>0がいえます].
つまりa=2√6*(2√6/5)=24/5, b=(5/7)*(24/5)=24/7, c=(4/7)*(24/5)=96/35と求まりました
[最後の部分はa:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:4を使いました].
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