8人の生徒を2つの組に分ける方法は何通りあるか。ただしどの組も1人以上は入るものとする。

Question

という問題の答えは127通りなのですが、考え方を教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

自分で考えたのは、まず2人を予め分けておいて2!通り⇒残りの6人をどちらに入るか2^6通りという考えなのですが、この考えでは128になってしまい、、

HS · Accepted Answer

いったん組に1組、2組などと区別をつけて考えます。
1人につき2つ、組の行き先があるので、2^8通り。
しかしこの中には片方の組のみに偏る2通りがあるので、
これを引きます。この時点で2^8 -2=254(通り)。

ここで、本来は組に区別がないので、区別をなくします。
すると、同じものが2通りずつ出てきます。
※たとえば区別をなくす前は「1組abcde、2組fgh」と
　「2組abcde、1組fgh」は別物ですが、
　区別をなくすとこの2つは同じものになります。
だから254通りを2で割って127通りです。

2人をあらかじめ分けておくと、
たとえばaを片方に、bをもう片方に入れておくと、
aとbが同じ部屋に入る場合を考えられなくなります。
また、組に区別はないので、
並べることを意味する2!もそぐわないです。

回答