Question

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解き方が分かりません。教えて頂きたいです。

*37Z へABC の重心を G とするとき, 等式
AB2+AC*ニBG?上CGY十4AGY

が成り立つことを証明せよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

まず重心の定義を思い出しましょう.
中点が絡むので中線定理をうまく活用すれば解けることに気づくはずです.
(ベクトルや三角関数でも解けますが手間が多いです)
***
辺BCの中点をMとする.
△ABCに関して中線定理から
AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)
が成り立つ. また△GBCに関して中線定理から
GB^2+GC^2=2(GM^2+BM^2)
が成り立つ.
したがってAB^2+AC^2=BG^2+CG^2+2(AM^2-GM^2)と書ける.
重心の定義からAM=(3/2)AG, GM=(1/2)AGが言えるから
AB^2+AC^2=BG^2+CG^2+2{(3/2)^2-(1/2)^2}AG^2=BG^2+CG^2+4AG^2
となって示された.

LUX SIT

[訂正]
(誤)重心の定義からAM=(3/2)AG, GM=(1/2)AGが言えるから
(正)重心Gは線分AMを2:1に内分する点なのでAM=(3/2)AG, GM=(1/2)AGがいえる. したがって
としてください.