✨ ベストアンサー ✨
405
下に凸の二次関数f(x)(ここでは、f(x) = x^2-2ax+a+6)が、ある範囲で常にf(x)>0を満たすということは、「f(x)の最小値がその範囲において常に正である」ということを意味しているのは分かりますか？これは適当にグラフを描けば視覚的に理解しやすいと思います。(適当に、というのは、必要最低限の情報(x軸など)があればいい、厳密に値を定めなくてもいいという意味です。)f(x)の最小値と書きましたが、定数を含んだ二次関数の最小値を求める問題はやったことがあると思います。場合分けが必要でちょっと面倒なタイプのやつです。ここでは最小値を求めた上で、それらがつねに正の数である条件を付けてやればよいのです。
つまり、この問題では「二次関数の最小値を求める」作業の後、「その最小値に制限をつける」作業を場合分けをして行うわけです。
406
まず、x^2+y^2 = 4という条件からxの範囲が絞れます。(-2≦x≦2)また、この条件から-y^2 = x^2-4(もちろんy^2 = -x^2+4もありえます。)が導き出されるので、x^2-y^2+4xに代入して、x^2-y^2+4x = x^2+(x^2-4)+4x = 2x^2+4x-4 = 2(x+1)^2-6が求まります。あとはこの二次関数の最大値と最小値を求めるのですが、ここで先ほど求めた-2≦x≦2という条件が活きてきます。最大値を求める際はxが求まるので、そのxをx^2+y^2 = 4に代入するとyも求まります。
407
「x,yが互いに関係なく動く」というのは、例えばxが1増えてもyには何の影響も与えないというような状況です。(これがxとz(ただし、z = xyとする。)とかだとすると、「互いに関係なく動く」わけにはいかなくなります。)そこで、xかyのどちらか一方を一旦固定して定数のように扱ってやります。解答ではyを固定しているので、xを固定して考えてみます。
P = x^2-2xy+2y^2+4x+2y+6 = 2y^2-2(x-1)y+x^2+4x+6 = 2{y-(x-1)/2}^2-(x^2-2x+1)/2+x^2+4x+6 = 2{y-(x-1)/2}^2 +{(x+5)^2}/2 -7
Pの最小値を求めるため、まずxの値を求めましょう。(x+5)^2 = 0となるときなので、x = -5となります。すると、P = 2{y-(x-1)/2}^2 -7 = 2(y+3)^2 -7となります。あとは簡単に求まるでしょう。y = -3(かつx = -5)で最小値は-7です。
二次関数の最大値や最小値の問題を解くときは、簡単にでもグラフを描いた方が解きやすくなるのではないでしょうか。
わかりやすい解説と、アドバイス
ありがとうございます！
今度からちゃんとグラフ書いて解いてみます。