Question

はるか

x＞0のとき、これの最小値を求めたいのですが、帯分数化してやるやり方を教えてください

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

NN

とりあえず
(x^4+x^2+1)/(x^3+x)
=(x^4+x^2+1)/x(x^2+1)
=x+1/x(x^2+1)

-----memo-----
x^4+x^2+1
=x^2(x^2+1)+1

整式の割り算をすれば導けます。

はるか

ここまではできますが、ここからできません。答えが虚数解になってしまいます

NN

部分分数分解をしましょう。
1/x(x^2+1)=a/x+(bx+c)/(x^2+1)
とするとa+b=0、c=0、a+c=1
よってa=1、b=-1から
1/x(x^2+1)=1/x-x/(x^2+1)
ここで、x+1/x=(x^2+1)/x
によりa=(x^2+1)/xとすると
a-1/aの最小値を求めればいいとなります。

NN

x>0によりx+1/x≧2
つまりa≧2となります。
y=a-1/aについて微分すると1+1/a^2>0
a=2のときy>0により、y=a-1/aはa≧2の範囲で、
狭義単調増加な関数となります。
つまり最小値はa=2、すなわちx+1/x=2 ⇔x=1
のとき、最小値3/2となります

はるか

ここの部分が何故こうなるのか教えて下さい

NN

あー......
元の式の変形をご自身でされると誤解がないかと。

はるか

やってみます、
ちなみに、数三の知識は使ってませんよね？

NN

はい、全く。

はるか

ご丁寧にありがとうございます！
1から解き直してみます