Question

ゆ。

教えてください。
九大の過去問です。

595sゥラマワマエTワモト12 1 」+ユ1 st.8キ9oキぎまぎま3ま3ポピピボ553232auピnm還IIEEEEn、、

(2) (配点50点)

| 。 この問題の解告は角和紙 [24] の定められた場所に記入しなぎり             の
へ の                                                                    人

                                                                P *和1
s和 [問題]                                                           NX

ea  床空間内の4 点 O(0.0.0), AL10), B(1.0.)。C(@ 。) を頂点  7
2 * 四面体が下四画休であるとする。 ただし, p>0, s>0とする。 以下の問いE、
| の                                  Ng。
な Qp の の s の値を求めよ。                         .

を (のゅ ) z四に垂直な平面で正四面体 OABC を切ったときの断面積の最大値を求め
に

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かい

だいたいこんな感じかと
分からんとこあったらまた言ってください。
紙一枚にまとめようとしたから、省略多めでごめんね

ゆ。

返信遅れてごめんなさい！
この黄色いマーカーした部分がわかりません😭
なぜこんな考えに至るのかを教えてください。

かい

今回の図形の存在するzの範囲は、0〜1の間になります。
だから、平面tの範囲も0以上1以下となります。
しかし、t=0のときは断面できると、辺AOのみが含まれます。つまり、辺AOの面積が、断面積となります。辺AOの面積は、AOを縦と見なすと、横の長さは0なので断面積0となります。t=1の時も同様です。ここで、なぜ、これだけ分ける必要があるのかと思われるかもしれません。もし、t=0、1を含めてしまうと、次に内分について考えてますが、t=0、1に関してはこの内分の考え方を同様に用いることができません。一応今回は、右の方での計算は、辺ABの内分を用いているということで、区別しています。正直、区別しなくても答えは出るのですが、こういうところを気にされる人もいるので、細かいところではありますが、一応区別して考えるという方法にしました。　
最後に、t=0を含んだ場合ABを内分することに、
ABを0:tに内分する点がDとなる
このようなことになり、やはり数学的にはおかしいですね。

ゆ。

丁寧にありがとうございます😭😭
めちゃめちゃわかりやすいです🙏
助かりました

Answer 2

NN

ベクトルで
適当に選んだ2点のベクトルの内積と
|vOA|=|vOB|=|vOC|
であることを利用します

vOA・vOB=|vOA||vOB|cosθ
=|vOA|^2 cosθ
=(√2)^2 cos(60°)
=1
|vOB|^2=1+p^2=2
|vOC|^2=q^2+r^2+s^2=2
vOA・vOC=q+r=1
vOB・vOC=q+ps=1
p^2=1よりp=1
r=psからr=s>0
q=1-rより
(1-r)^2+r^2+r^2=2 ⇔ 3r^2-2r-1=0
(3r+1)(r-1)=0 r>0よりr=s=1
つまりq=0

NN

正四面体は点対称な図形なので
z=tで平面を区切るときt=0、t=1では面積が成立しないので
0<t<1
z=tと図形の辺の交点は常に4個
OB、OC、AB、 ACとz=tの交点をそれぞれ
P、Q、R、Sとする
vOA=a、vOB=b、vOC=c
とすると
vOP=tb、vOQ=tc、vOR=(1-t)a+tb
により
PQ^2=|tc-tb|^2=2t^2
PR^2=|(1-t)a+tb-tb|=2(1-t)^2
vPQ・vPR=(tc-tb)(1-t)a
=t(1-t)(ac-ab)=0 (PQSRは長方形)
より求める面積は
√2t^2×√2(1-t)^2=2(t-t^2)=-2(t-1/2)^2+1/2
により、1/2で最大値を取る。

ちなみに、内積を取る発想は正四面体この図形が点対称図形
なので、断面は少なくとも平行四辺形ではあるだろうという予想からです

Answer 3

LUX SIT

知ってもらいたいこともあるので図形的に解いてみます.
***
(1) 正四面体OABCはすべて同じ正三角形の面からなっている[等面四面体の一種].
したがって少なくともOA=OB⇔√2=√(1^2+p^2)がいえ, このうちp>0となるものはp=1.
このとき確かに△OABは正三角形である. またその重心Gは(2/3, 1/3, 1/3)である.
ここで正四面体の重心と垂心が一致することに注意する[等面四面体の性質. 外心と内心も同じ位置].
点O, A, Bを含む平面の方程式はx-y-z=0でその法線ベクトルは, ベクトルCGと平行である.
したがって媒介変数tを用いてC(2/3+t, 1/3-t, 1/3-t)と書くことが出来る.
ここでs>0なので1/3-t>0⇔t<1/3に限られる.
OC=√2だから(2/3+t)^2+(1/3-t)^2+(1/3-t)^2=(√2)^2が成り立つ. t<1/3でこれを解くと
(2+3t)^2+2(1-3t)^2=18⇔27t^2=12⇔t^2=4/9⇔t=-2/3. これからC(0, 1, 1)と求まった.
以上の結果をまとめるとp=1, q=0, r=1, s=1である.
***
(2)z軸に垂直な平面はz=uと表せる.
正四面体を埋めこむ立方体[等面四面体のときは直方体]は0≦u≦1の範囲にあるので, この範囲で考えれば十分である.
平面z=uは辺OB, AB, AC, OCと交点を一つずつ持ち, それぞれを点P, Q, R, Sとすると
ベクトルOP=uOB=(u, 0, u), OQ=(1-u)OA+uOB=(1, 1-u, u), OR=(1-u)OA+uOC=(1-u, 1, u), OS=uOC=(0, u, u)
と求まる. ここでベクトルPQ=SR=(1-u, 1-u, 0), PS=(-u, u, 0)から|PQ|=|SR|かつ内積PQ・PS=0がいえる.
したがって切り口である□PQRSは長方形で, その断面積は0≦u≦1において2u(1-u)=-2(u-1/2)^2+1/2と表せる.
以上から切り口の断面積の最大値は平面z=1/2で切ったときの1/2である.

LUX SIT

[補足]
対称性について言及している人がいるので付け加えておきましょう.
まず正四面体の対称中心は(3/(3+1))OG=(1/2, 1/2, 1/2)で, これは立方体の対称中心とも一致します.
また正四面体の4辺の中点, たとえば辺OB, AB, AC, OCの中点を結んだ図形は正方形で, その対角線の交点は上の対称中心を通ります.
　[これはベクトルの授業で証明しているはずです]
この問題の場合, 辺OAがxy平面内にあることを考えると, z軸に垂直に切った平面で切られた断面積は長方形であることも分かります.
以上の考察から最大値は対称中心を通る時, すなわち平面z=1/2で切ったときだということは想像がつくでしょう.
***
点対称性の扱いは数学だけではなく, 物理や化学の結晶場理論などにも出てきますから, 理系なら意識しておくといいでしょう.