✨ ベストアンサー ✨
この問題は図形を書いて試行錯誤してみることがすべてです[20分ぐらい考えて5分で答案がまとまる].
あまり考えずに余弦定理を適用, そして式が爆発して∩(・∀・)∩ ﾓｳ ｵﾃｱｹﾞﾀﾞﾈという人は多いでしょう.
そういう人には落ちてもらおうという意図の問題にも見えます.
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△APBに関して正弦定理を適用すると
AB/sin(∠APB)=BP/sin(∠BAP)⇔sin(∠APB)=sin(∠BAP)/BP
ここでsin(∠BAP)が最大かつBPを最小にするような点Pが存在すれば, sin(∠APB)はそのとき最大値をとるといえる
[都合のいい(実は幾何学的な意味が一致している)点があることを示す. 幾何不等式ではよく使う手法です].
sin(∠BAP)が最大値をとるのは∠BAP=π/2のときで, このとき点Pの座標は(1, 1)である.
またBPが最小値をとるのは点B(0, 2)と直線y=xの距離が最小となるときである.
y=xに垂直で点Bを通る直線はy=-x+2で, 両直線の交点は(1, 1)である. この交点P(1, 1)がBPを最小にする.
以上から点Pが(1, 1)にあるとき, sin(∠APB)は最大値をとると結論できる.
一方, 点(0, 3/2)と直線y=xの距離は|0-(3/2)|/√2=3√2/2で, 線分ABを直径とする円の半径1/2より大きい.
したがって円周角[直径の円周角は直角]との関係から∠APBは少なくとも鋭角であるといえる.
正弦関数sin(x)は鋭角の範囲では単調増加なのでsin(∠APB)の最大値と∠APBの最大値は一致する.
点Pが(1, 1)ならば, △APBはAB=AP=1, ∠BAP=π/2の直角二等辺三角形となっている.
したがって∠APBの最大値はπ/4である.
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[ノート]
∠APBは直線APと直線BPのなす角と見ることも出来るので正接(tan)に着目して解くことも出来ます.
正接の加法定理が出てきますが, 値の決まらないπ/2+nπを避けるような場合分けが必要かもしれません.
そういった意味では正弦(sin)に着目して解くのが安全だと いえるでしょう.
[別解2] 初等幾何で解く(図は自分で書きましょう)
直線y=xの第一象限部分を半直線ℓとする. 線分ℓ上に点Q(1, 1)をとるとBQ⊥ℓとなっている.
このとき点Aと点Qのy座標が等しく, AB=AQ=1なので△ABQは直角二等辺三角形である.
これから∠APB=π/4である. また△ABQの外接円が半直線ℓに接していることに注意する.
点Q以外の点Pは△ABQの外接円の外側にあるので, APとこの外接円は交点Sを持つ.
円周角の定理より∠AQB=∠ASB
また△BPSの外角の関係から∠ASB=∠APB+∠PBS≧∠APB [等号成立は点Pと点Qが一致するとき]
[この事実は中学の幾何で証明しているはずです]
以上より∠APB≦∠AQB=π/4がいえる.
ご丁寧にありがとうございます！🙇♂️
[別解] 平行四辺形の面積を利用して正接を作る
点Pの座標を(x, x), x>0とすると, ベクトルPA=(-x, 1-x), ベクトルPB=(-x, 2-x)と表せる.
ベクトルPAとベクトルPBのなす角をθ∊[0, π]とすると
内積について
PA・PB=|PA||PB|cosθ=(-x)(-x)+(1-x)(2-x)=2x^2-3x+2=2(x-3/4)^2+7/8>0 [分母≠0の確認を忘れないように!]
ベクトルPAとベクトルPBのなす平行四辺形の面積Sは
S=|PA||PB||sinθ|=|(-x)(2-x)-(1-x)(-x)|=x>0 [平行四辺形は三角形の面積1/2|ad-bc|の2倍]
∠APBはベクトルPAとベクトルPBのなす角θの絶対値に相当するから
tan(∠APB)=|tanθ|=S/(AP・BP)=x/(2x^2-3x+2)=1/(2(x+1/x)-3)>0
と書くことが出来る.
ここで相加平均・相乗平均の関係からx+(1/x)≧2√(x・1/x)=2 [等号成立はx=1]なので
tan(∠APB)≦1/(2*2-3)=1=tan(π/4) [等号成立はx=1]がいえる.
鋭角範囲で正接関数は単調増加なので, tan(∠APB)の最大値は∠APBの最大値と一致する.
したがって∠APBの最大値はπ/4である.
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複雑, もしくは難解な場合分けに遭遇した場合, それをうまく回避する方法を考えることも大事です.
入試本番ではこのような工夫によって時間的な余裕が生まれ, 他の問題に掛ける時間も増します.
普段の勉強から意識してみましょう.