✨ ベストアンサー ✨
数学的帰納法を使います。
n=kでの等式の成立を仮定したら
1≦a[k]≦3 ⇒ 1≦√a[k]≦√3
⇒ 2≦√a[k]+1≦√3+1
⇒ 2≦ a[k+1]≦ √3+1
⇒ 1≦ a[k+1]≦ 3
となりn=k+1 でも成立します。
また，1≦a[1]≦3 であるので
すべての自然数nで
1≦a[n]≦3 が成立します。😀
ちなみに元の問題文は「1≦a[n]≦3を示せ｣というものですか？
元の問題文がどのようなものか分からなかったので，
一応｢数列a[n]の範囲を求めよ｣という仮定のもと解いてみました。
途中で0≦a[n]≦3 を使っていますが，あの証明は先のものを参考にしています。
また，答えを出すための答案ですので難しいところもあるかと思います。
何か知りたいことがあったら丁寧に解説しますので言ってください。😀
（プラスαで難しい問題？大学の問題にもつながるからこの問題も高校の習った範囲でも理解できるから見てみて、というふうに問題と答えが配られました。なので、宿題とかではなくなんとなく見てて、わからなくてもとりあえず大丈夫なやつかなーと思ってたのですが、疑問だったので、、）
その部分だけだと、その数列が有界であることを示せという感じです。
なるほど諸々の事情を理解出来ました。😀
まず大学の範囲に繋がるというのは
｢有界な単調数列は収束する｣という定理と
｢ε-N論法｣の事だと思われます。
有界であることを示せと言われたら写真のように図を描いてa[n]の軌道を観察し極限値が何になりそうか予想する or 普通に極限値が求まりそうなら極限値を求めて，それを超えるように範囲を設定し有界である事を証明すれば良いと思います。
もしくはユキさんが先に述べられていたように実際に値を代入してa[n]が収まりそうな範囲を予測すれば良いと思います。😀
本当に丁寧にありがとうございました！！
回答ありがとうございます！
追加の質問なのですが、仮定する時には自分で代入したりしてみて、だいたいの目安で1≦an≦3の範囲でやろうと思うのですか？
説明がわかりづらくて本当にすみません。
問題の答えとして、「まず数学的帰納法で1≦an≦3を示す」と突然出てきたので、、
例えば、この数列の範囲を求めよ、みたいに言われたらどうしたらいいかというようなことが知りたいです、、
意味わからなかったらスルーしてもらって構いません！！