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本の解答が正しいのは偶関数と関係があります
下の画像にまとめましたが、θで積分するときの被積分関数は1行目の大きなカッコの中身全体になりますから、3行目のようにθに-θを当てはめても関数値が一致することを確かめることで偶関数と分かります
あるいは体積を求めたい部分がxz平面に対称だから、y≧0, すなわち0≦θ≦π/2の部分だけ求めて2倍すればよいという考えでもいいです
なずさんの計算間違いは質問画像3枚目の下から3行目から2行目にかけてで、
(sin²θ)^(3/2)＝sin³θ
としているところです。これは底であるsinθが0以上のときしか成立せず、正しく計算するには
(sin²θ)^(3/2)＝(|sinθ|²)^(3/2)＝|sinθ|³
とする必要があります。本の解答では0≦θ≦π/2だから絶対値をつける必要がないのです
単なる二重積分の場合は式の形から考えるしかないですね
偶関数の判別については、計算しなくても大丈夫です。もう少し一般的に言うなら、
∫[0,cosθ]f(r)dr
の形であれば全部θについて偶関数です。f(r)がθによらない関数なので、θに-θを当てはめた式は
∫[0,cos(-θ)]f(r)dr
＝∫[0,cosθ]f(r)dr (∵cos(-θ)=cosθ)
となり元の式に一致します
積分の中の関数で偶関数を判別するんじゃなくて、積分区域で判別するんですね！わかりました。じゃあ、[0, x²]とかも同じですね。
被積分関数にxが入ってないときはそうなりますね
そう言えば重積分なら、中にあったとしても外に出せて、またそれがない式だけで判断できるんじゃないかと今思いました。画像の二行目→三行目ように。どうでしょうか。
また、画像の偶関数って、教えていただいた方法のように積分区間だけでは無理のようですね。u=-yで置換したら偶関数でした。上限がxの奇数のべき乗なのにって驚きました。
少し返事が遅れてしまいましたが
被積分関数によってはそのようにインテグラルの外に出せるものもありますね。一方で√(x+y)のようにxを外に出すのが難しい形もあるかと思います
積分区間がxの偶関数じゃないのに定積分全体がxの偶関数になる例は初めて知りました。こういうパターンもあるんですね
そうですね。その後私もそれを思いつきました。そういうときは地道に計算ですね。
回答ありがとうございます。
なるほど、絶対値ですか。すごい細かいところですね！見つからないのも納得できます。今後気をつけます。
2倍については式と体積の2つの考え方ですね。でも特に体積と関係ないただの二重積分の計算だったら使えないかも？
画像の三行目の式はやはり計算して展開しなければ偶関数だと見えてこないんですかね？それとも一行目中の式にθがないけれども、1と見做せるので、1は偶関数で2倍にできる、という形で判断してもいいですか？