✨ ベストアンサー ✨
解き方は大丈夫です.
自信がないのは解答にまとまりが感じられないからでしょう.
下のようにまとめれば明快でしょう.
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sinθ<tanθ⇔tanθcosθ<tanθ⇔tanθ(cosθ-1)<0と同値変形できる.
まずcosθ-1=0⇔θ=0のとき不等式を満たせない.
0<θ<2πのとき, 常にcosθ-1<0なのでtanθ>0.
このようなθは0<θ<π/2, π<θ<3π/2.
ボロボロですね...すいません.
最初の解答で大丈夫です. というのは...
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tanθのθ=π/2, 3π/2は定義されていない[暗黙の仮定. well-defined?].
cosθ=0となるπ/2と3π/2は当然考えなくてよい.
⇒cosθ≠0なのでtanθ=sinθ/cosθもうまく定義されている.
と考えれば, 場合分けする必要がありません.
***
あえて書くならば
θ=π/2, 3π/2で余接関数は定義されないのでcosθ≠0としてよい.
tanがπZ/2で定義されないことの何がwell-definedなんですか。あとそこで定義されないのは正接函数であって余接函数では無いですが。
すいません. そこは確かに正接関数(tan)の間違いです.
高校レベルでの不等式, すなわち値が比較できるということは少なくとも共に実数値があることです.
要するに
sinθ<tanθ , 0≦θ<2π
⇒θ=π/2, 3π/2におけるtanθは定義されていないのでそもそも比較できない
⇒sinθ<tanθ, 0≦θ<π/2, π/2<θ<3π/2, 3π/2<θ<2π
という不等式を意味しているということです.
丁寧に回答してくださりありがとうございます。
理解力がなくてすみません。。
えっと、、どこを訂正すれば正解になるのでしょうか？
混乱させてしまって本当にごめんなさい.
訂正すべき点はθ=π/2, 3π/2でtanθは定義されていないので値を比較できない. だから除くという点です.
以下に丁寧に書いた解答を載せておきます[それまでの回答はすべて無視してください].
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tanθはθ=π/2, 3π/2で定義されていない[左側から近づいた値と右側から近づいた値が一致しない]ので除かれることに注意する
[不等式として成り立つ範囲を調べたわけです. θ≠π/2, 3π/2という条件が0≦θ<2πに加わります].
このときsinθ<tanθ⇔cosθtanθ<tanθ⇔(1-cosθ)tanθ>0と変形できる[不等式を正にしたのは以下の議論が楽になるからです].
ここで0≦θ<2πにおいて-1≦cosθ≦1だから1-cosθ≧0である.
1-cosθ=0ならば不等式を満たせないので, 少なくとも1-cosθ>0[ある正の値だから割れる]がいえ, tanθ>0を考えれば十分である.
この範囲は0<θ<π/2, π<θ<3π/2である.
[補足] 以下は混乱するなら読み飛ばして結構です.
cosθ=0となるθはθ=π/2, 3π/2でtanθが定義されていないθと一致します.
それはtanθ=sinθ/cosθで「分母のcosθが0であること」と「tanθが定義されていないこと」が対応しているからです.
上の解答は
①sinθ<tanθという不等式があるので, まずsinθ, tanθが定義されている範囲を考える.
②その範囲でcosθも問題なく定義されているのでsinθ=cosθtanθとすることが出来る.
という論理で解いていることに注意しましょう.
青さんの指摘が抜けていますね.
[訂正]
θ=0のとき, 不等式は成り立たない.
0<θ<2πの下でsinθ<tanθ⇔tanθcosθ<tanθ⇔tanθ(1-cosθ)>0
ここで0<θ<2πでは常に1-cosθ>0だからtanθ>0
このようなθは0<θ<π/2, π<θ<3π/2.