Question

欅

この問題わかる方いませんか？？教えてもらいたいです！！お願いします！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

@凛璃🧸(垢変したよ)

n次の因数分解公式
a^n+b^n=(a+b){a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b²・・・-ab^(n-2)+b^(n-1)}
(ただしnは奇数）
を知っていれば次のやりかたでも解けそうです
（a^n-b^n の因数分解と並んでこれらの公式は有用、ただし高校生が証明なしで使うのはまずいかも。そこで記述には工夫が必要）
自分でやってもらえば分かりますが、｛｝の中身の項がプラスとマイナス交互に入れ替わっていることによって
右辺を展開するとa^n+b^n以外は気持ちよく消えてくれます
ちなみに高校で習う3乗公式は、n=3としたもの

これを踏まえて
x²＝ｙとおくと
x^2006=(x²)^1003＝y^1003
(y+1)(y^1002-y^1001+y^1000・・・-y+1)=(y^1003)+1^1003 　←←←展開するとこうなるという記述なの
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明云々の問題はないと思います
⇔(x²+1){(x²)^1002-(x²)^1001+(x²)^1000・・・-x²+1}=(x²)^1003+1
⇔x^2006=(x²+1){(x²)^1002-(x²)^1001+(x²)^1000・・・-x²+1}-1
両辺x³倍して
x^2009=x³(x²+1){(x²)^1002-(x²)^1001+(x²)^1000・・・-x²+1}-x³
x³＝(x²+1)x-xだから
x^2009=x³(x²+1){(x²)^1002-(x²)^1001+(x²)^1000・・・-x²+1}-{(x²+1)x-x}
=(x²+1)[x³{(x²)^1002-(x²)^1001+(x²)^1000・・・-x²+1)}-x]+x
割られる数＝商ｘ割る数＋あまりという形に出来たから、あまりはx
さっきのとは違う考え方で、これは私が考えた方法ではないのでこっちの方が正しいかもです。

Answer 2

@凛璃🧸(垢変したよ)

1+x+x²+x³+・・・+xⁿ=(1-xⁿ⁺¹)/(1-x)
x → -x²　とすると
1-x²+x⁴-x⁶+・・・+(-1)ⁿx²ⁿ={1+(-1)ⁿx²⁽ⁿ⁺¹⁾}/(1+x²)

n=999 とすると
1-x²+x⁴-x⁶+・・・-x¹⁹⁹⁸={1-x²⁰⁰⁰}/(1+x²)
まとめると
x²⁰⁰⁰/(1+x²)=-(1-x²+x⁴-x⁶+・・・-x¹⁹⁹⁸)+1/(1+x²)

余りは　1
かな。と思います。
小6なので信憑性に欠けますが。
年下が失礼しました。

Answer 3

なまたま

ヒント:x²+1 はx=i を代入すると0になります。
P(x)をx²+1 で割った余りをax+b とおいて、x=i を代入してみましょう。

欅

回答ありがとうございます。
ヒントから解いてみると答えは余りはxになりました。