(ベクトル記号は省きます)
l=m=n=0ならばla+mb+nc=0は自明なので、la+mb+nc=0ならばl=m=n=0が示されたことで、l=m=n=0とla+mb+nc=0は同値であることになります。
ここで、a,b,cが線形従属だと、平行なベクトルが存在するので、それぞれのベクトルが打ち消し合う場合が存在し、la+mb+ncを0とするようなl,m,nの組はl=m=n=0以外にも存在することが容易にわかるので、その対偶を取れば、la+mb+nc=0⇔l=m=n=0ならばa,b,cは線形独立と分かるはずです。
拙い日本語ですみません。
外部のものですが、
必要十分条件を満足するのには、結果的に、線型独立である必要があるのですね！