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与式の(左辺)ー(右辺)を計算すると両辺に現れる(ax)^2と(bx)^2はともに打ち消されるので、
(ay)^2+(bx)^2-2abxyが残ることがわかります
この式は(ay-bx)^2と変形することができ、
(実数)^2≧0より題意が示されます

等式が成り立つのはつまり、どんなときですか?4つとも0の時ですか?

pomme

等号成立⇔(ay-bx)^2=0⇔ay-bx=0⇔ay=bx
となれば良いので必ずしもa=b=x=y=0である必要はありません。ay=bxさえ成立していれば等号は成立するのでもちろん4つとも0の場合も含まれます。しかしこの条件を満たすa,b,x,yはその他にも無限に考えられるので具体的な4数の値を定めることはできません。よって等号成立条件としてはay=bxを答えるのが適切だと思います。
ちなみにこの不等式はコーシー・シュワルツの不等式といって有名な不等式の1つなので問題集などにも証明が載っていることが多いです。ぜひそちらも参考にされると良いと思います!

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