✨ ベストアンサー ✨
どういう風に分からないのですか？
<a>の定義？それとも集合の包含関係の証明でしょうか？
となると、集合のイコールの示し方の問題ですかね
一般に、集合A,Bについて
A=B ⇔ A⊂B かつ A⊃B
なので、A=B を示したいときは A⊂B と A⊃B を両方示します
A≠B だったら A⊂B と A⊃B のどちらかが成り立たないことを言えばよいです
A⊂Bについては、
A⊂B ⇔ ∀x(x∈A ⇒ x∈B)
なのでxがAの元ならばxはBの元にもなっていることを示します
A⊄Bだったら、Aの元なのにBの元でないようなものを一つ取ればよいです
とりあえず4と5をやってみます。6以降はこれを参考にチャレンジしてみてください
4.
<𝒂>={x𝒂|x∈ℝ}
<𝒂,𝒃>={x𝒂+y𝒃|x,y∈ℝ}
ですね。<𝒂>⊂<𝒂,𝒃> は成り立ちそうなので<𝒂>⊃<𝒂,𝒃> が成り立たないことを示してみます
(解)
𝒃=0𝒂+1𝒃 より 𝒃∈<𝒂,𝒃> である
一方、𝒃=x𝒂 とおくと
2=x, -3=-x, 3=2x
これを満たす x∈ℝ は存在しない
したがって、𝒃∉<𝒂> であるから、
<𝒂>⊅<𝒂,𝒃>
特に、<𝒂>≠<𝒂,𝒃> ◻︎
5.
<𝒂,𝒃>={x𝒂+y𝒃|x,y∈ℝ}
<𝒂,𝒃,𝒄>={x𝒂+y𝒃+z𝒄|x,y,z∈ℝ}
ですね。今度は <𝒂,𝒃>⊂<𝒂,𝒃,𝒄> と<𝒂,𝒃>⊃<𝒂,𝒃,𝒄> を共に示す必要があります
(解)
(⊂の証明)
𝒙∈<𝒂,𝒃> とすると
𝒙=x𝒂+y𝒃 (x,y∈ℝ)
と表せる。このとき
𝒙=x𝒂+y𝒃+0𝒄∈<𝒂,𝒃,𝒄>
したがって、
<𝒂,𝒃>⊂<𝒂,𝒃,𝒄>
(⊃の証明)
𝒙∈<𝒂,𝒃,𝒄> とすると
𝒙=x𝒂+y𝒃+z𝒄 (x,y,z∈ℝ)
と表せる。このとき
𝒙=x𝒂+y𝒃+z(𝒂-3𝒃)
=(x+z)𝒂+(y-3z)𝒃∈<𝒂,𝒃>
したがって、
<𝒂,𝒃>⊃<𝒂,𝒃,𝒄>
以上より、
<𝒂,𝒃>=<𝒂,𝒃,𝒄> ◻︎
理解できました。
ありがとうございます。
なら良かったです
<a>の定義はある程度は理解出来ていて、とりあえず
部分空間<a> <a,b>を図示してみたのですが、そのあとどうすれば条件を示せたことになるのかがわからないです状態です。