Question

スイミー

この問題わからないので教えてください。あと、こういう水注ぐ系の問題がいつもよく分からないんですが、解くときのコツとかあったら教えていただけると嬉しいです。

03ミ7ミ30 において,点は定点Q を| コ |回通る。 |の| の最天値ほ

 

 

 

 

サ

 

 

であり, 加速度の大きさ || の最小値はシ 」]である。    (立全館大)

 

 

 

 

鉛直にして置かれている。 ただし, 上面の央の半径ほ容
回の深さの 2 倍になっている。この容器に毎秒 cm
の割合で水を注ぐとき, 水の量が 2cm? になった瞬間に
おぉける水面の上昇する速度を求めよ。またそのときの水
田の面積の増加する速度を求めよ。        (豊橋技術大・改)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

772 与えられた関数 /(x) と整数 (0
jm 0 を満た

えっ0       2

77′ 図のような直円雛状の容器が, 容器の頂点を下にし, 軸を    SS

サー・

      

4
731
8

シー

7 水面の上昇する速度

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

個人的に、この手の問題で壁となるのは問題文の日本語を数式に直すところだと思います。なのでそこから説明します

基本的に、速度という言葉が付いていたらそれは何かを時刻tで微分した導関数で表現されます
分かりやすいものからいくと、水面の面積の増加する速度は
dS/dt (S:水面の面積)
ですね
また、水面の上昇速度は水面の高さの増加速度と考えれば
dh/dt (h:水面の高さ)
となります
さらに、毎秒w㎤の割合で水を注ぐ、というのは、水の量Vの増加速度がw、と言い替えられるので
dV/dt＝w (V:水の量)
と表せます

以上より、この問題は
dV/dt＝w
の下で
dh/dt, dS/dt
の２つを求めるということになります
しかしこれだけでは解けないですよね。そこでV,h,S間の関係を調べます
水面の半径をrと置くと、容器の形状や仮定から
r＝√2h
S＝πr²
V＝(1/3)Sh
です。これで準備はできました

まずdh/dtを求めます。今分かっているのはdV/dtだけなので、Vとhの関係を出しましょう
V＝(1/3)Sh
＝(π/3)r²h
＝(2π/3)h³
両辺をtで微分します
dV/dt＝2πh²•dh/dt
dh/dt＝w/2πh²
水の量がvになったときのhは
v＝(2π/3)h³
h＝³√(3v/2π)
なので、このとき
dh/dt＝(w/2π)•³√(2π/3v)²
＝w/³√(18πv²)

dS/dtもほぼ同じです。dh/dtを得たのでそこから求めるのがよいと思います
S＝πr²＝2πh²
なので、両辺をtで微分して
dS/dt＝4πh•dh/dt
水の量がvになったとき
dS/dt＝4π•³√(3v/2π)•w/³√(18πv²)
＝4w³√π/³√(12v)

スイミー

なるほど！！
丁寧に説明してくださってありがとうございます！理解できました✨

gößt

よかったです(｀・ω・´)