Question

なほ

数学的帰納法の問題で、赤線の過程がなぜ必要か分からないので教えていただきたいです🙇

102 (数学的帰納法)
nを自然数とする。 数学的帰納法を用いて、次の不等式を証明せよ。
4"≧4m²

/02 (数学的帰納法)
ポイント
n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のときを証明
2 n=kのとき不等式が成り立つと仮定して, n=k+1のときに
] n=1のとき, 不等式が成り立つことを示す。
も不等式が成り立つことを示す。
4"≥4n 2
①とする。
[1] n=1のとき
左辺 =4'=4,
右辺 = 4・12=4
よって,①は成り立つ。
[2]nk のとき ①が成り立つ,すなわち 44k2
と仮定する。
n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,②により
4k+1-4(k+1)2=44-4(k2+2k+1)
よって
≧4.4k2-4(k2+2k+1)
=4(3k2-2k-1)=4(k-1)(3k+1) ≧0
4k+1≧4(k+1)2
したがって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] により, ① はすべての自然数nについて成り立つ。
②

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

必要なのではなくて不等式評価することにより、kの二次関数となり≧0が示しやすくなります。
不等式評価しないと微分して示すことになりますが、指数関数と多項式の混合になるので複雑になります。