Question

れレれれモ。

単位円x²+y²=1の面積をあえて積分で求めてみようと思ったんですが、
∫[-1, 1] 2√(1+x)(1-x)となって、結果0になってしまいます。
なにかやり方があるのでしょうか。それとも、円の面積を積分で求めようとすること自体、間違ってるのでしょうか。

定積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Shion*

いや、ちゃんとπって出ますよ！
y=±√(1-x²)までは出てそうですね！
面積をSとして、
S=2∫[-1,1]√(1-x²) ここまであってます！
このあと、x=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)･･･①と置きます。（√(a²-x²)を積分する時は、x=asinθと置換して計算する方法があります！）
dx/dθ=cosθより dx=cosθdθ
xが-1→1なのでそれぞれ①に代入するとθは-π/2→π/2となります。
よって、
S=2∫[-π/2,π/2]√(1-sin²θ)cosθdθ
= 2∫[-π/2,π/2]cos²θdθ (1-sin²θ=cos²θ、√(cos²θ)=cosθ、cosθ×cosθ=cos²θより)
あとはcos²θを半角公式で変形して、普通に定積分するだけです！

れレれれモ。

途中式までご丁寧にありがとうございます！！
理解できました！