Question

ゲスト

教えてください

し

2の" 科料面上でA⑦, B(のは 〆+めアーの  lg一| 3 を満たすQQO

と異なる複素数を表す点とする。
⑰ をポめよ。   (2 の絶対値を求めよ。

(3) 原点0とA(⑦, B(@) を結んでできる へOAB の面積を求めよ。

Answer 1

LUX SIT

(1)A(α), B(β)はO(0)とは異なる点なのでα≠0, β≠0
α^2+β^2=αβの両辺をβ^2≠0で割ると(α/β)^2+1=(α/β)
⇔(α/β)^2-(α/β)+1=0 [実はz^3=-1. z≠-1⇔z^2-z+1=0と同じ.]
α/βの2次方程式と見なすことが出来て, α/β=(1±√3i)/2
***
(2)(1)から|α|/|β|=|α/β|=|(1±√3i)/2|=√{(1/2)^2+(±√3/2)^2}=1⇔|α|=|β|⇔OA=OB
またarg(α-0)-arg(β-0)=arg(α/β)=±π/3なので∠AOB=π/3
以上より△OABは正三角形をなすことが分かった.
|α-β|=3からABの長さが3なので|α|=OA=AB=3がいえる.
***
(3)△OABは1辺が3の正三角形なので面積は(1/2)*3^2*sin(60°)=9√3/4.
***
計算で求めてもいいですが, 上のように図形的に考えた方が楽です.
他の問題を通じて複素数の基本的性質[共役の和積], 図形との対応関係に慣れましょう.

ゲスト

ありがとうござます。
助かりました。