Question

mimimi

f(x)=2sin(2x-π/6)の周期のうちで正で最小のものというのはどういうことですか？ また求め方も教えて下さい

Answer 1

LUX SIT

関数f(x)が周期関数というのは, 任意のxについてf(x+T)=f(x)が成り立つことです. Tを周期と呼びます.
この式の意味はx軸方向に-Tだけ平行移動したものが, 元の関数と一致するということす.
正で最小という条件がなぜあるのか?という疑問があるかもしれませんが
f(x+T)=f(x)ならばf(x+T+T)=f(x+T)=f(x).
帰納的に任意の自然数nに対してf(x+nT)=f(x)が成り立つので関数f(x)の周期を無限にとることが出来ます.
[1周期, 2周期・・・と平行移動しても一致するのは直感的にも分かるでしょう.]
それでは困るので周期が最小となるものを基準にしよう, と決めるわけです.
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単純な正弦関数g(x)=sin(x)を考えると, 任意のxに関してsin(x+2nπ)=sin(x)が成り立ちます.
したがって周期性があります. f(x+T)=f(x)を満たすような最小の周期は2πです.
次にf(x)=2sin(2x-π/6)を考えるわけですが, sinの前にある係数2は振幅を2倍にするだけなので周期に影響を与えません.
問題は位相の2x-π/6ですが,位相の -π/6は2sin(2x)をx軸方向にπ/6だけ平行移動させた, ということなので周期に影響はありません.
位相の2xですが, y=2xと置き換えると分かりやすくなります.
sin(y)の周期は2πですから2xに関しての周期が2π.　したがってxに関しての周期はπとなります.
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[解答例]
f(x)=2sin(2x-π/6)をx軸方向にπ/6だけ平行移動した関数g(x)=2sin(2x)とf(x)の周期は同じである.
sin(2x)の最小周期は2πなのでg(x)の最小周期は2π/2=πである.
すなわちf(x)の周期のうちで正で最小のものはπである.

LUX SIT

誤解を招きそうな箇所と間違いがあったので下のように読みかえてください.
*sin(y)の周期は2πですから2xを軸としてみたときの周期が2π. したがってxに関しての周期は1/2のπとなります.
*sin(x)の最小周期は2πなのでg(x)の最小周期は2π/2=πである.
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sin(ax)はsin(x)をx軸方向に1/a倍縮小したものと考えることが出来ます.