✨ ベストアンサー ✨
剰余の定理で1の3乗根の性質を利用する問題ですが, ωに振り回されて, そもそもの設定を忘れてしまったのが混乱の原因でしょう.
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x^2nをx^2+x+1で割った商をP(x)とします. 余りは2次式未満なので"a, bを実数として"ax+bと書けます. すなわち
x^2n=(x^2+x+1)P(x)+ax+b
ここで１の３乗根ωがω^2+ω+1=0を満たすことに注意すると, 剰余の定理から
ω^2n=(ω^2+ω+1)P(ω)+aω+b
⇔ω^2n=aω+b
ここでω^nは1,ω,ω^2, ω^3=1, ω^4=ω,…と係数を3で割った余りで循環するので, n=3k, 3k+1, 3k+2で場合分けを行います.
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n=3k+1のとき[これが分かれば他の場合も解けますよね.]
ω^2(3k+1)=aω+b
⇔ω^{3(2k)+2}[ω^3=1を使います]=aω+b
⇔ω^2[ω^2+ω+1=0を使って次数を下げます]=aω+b
⇔-ω-1=aω+b
⇔(a+1)ω+(b+1)=0 [ai+b=0ならばa=b=0と同じ見方をします. ここを勘違いしているのでしょう.]
ここでωは虚数なのでa+1=0であることが必要, このときb+1=0であれば十分となります[実質ωに関する恒等式].
すなわちa=-1, b=-1なので余りはax+b[と最初に置きました]=-x-1です.
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余りをどう置いたのか? ωをなぜ使ったのか? 場合分けをなぜしたのか?
これからは設定, 論理のつながりを把握しながら答案を仕上げる努力をするといいでしょう.
詳しくありがとうございます😊
理解できました🌟
[訂正] ここでω^nは1,ω,ω^2, ω^3=1, ω^4=ω,…と指数を3で割った余りで循環するので
Hint.
ωは係数a, bを定めるために便利そうなので導入→ωを含む虚部と残りの実部の比較でa, bの２変数を相手にしても解ける, と判断できる.