Question

さくら🌸

計算過程を教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

るん.2ロを求めよ。

Answer 1

LUX SIT

等差数列と等比数列の積の形です.S[n]=Σ[k=1->n]k*2^(k-1)と定義して具体的に和を書いてみます.
S[n]=1*2^(1-1)+2*2^(2-1)+…+n*2^(n-1)
両辺に等比数列の公比2を掛けると
2S[n]=1*2^(2-1)+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
差をとると
S[n]-2S[n]=1*2^(1-1)+1*2^(2-1)+…+1*2^(n-1)-n*2^n={2^(1-1)+2^(2-1)+…+2^(n-1)}-n*2^n
ここで中括弧で括られた部分は初項1, 公比2の等比級数の1項目からn項目までの和になっていることが分かります.
したがって
-S[n]={1*(2^n-1)/(2-1)}-n*2^n=(2^n-1)-n*2^n=(1-n)2^n-1⇔S[n]=(n-1)2^n+1
以上から
Σ[k=1->n]k*2^(k-1)=(n-1)2^n+1
と求まりました.
***
公比を掛けた新しい級数と元の級数の差から等比数列の和を作る部分が計算技術の肝です.
新しいタイプの問題に出会った時は具体的に書いて観察する. 適切な操作[この問題は公比の積]から既知の問題に落とし込むことが大事です.