Question

数学無理ちゃん

下から6行目、π·φが同型なのはなんでですか

したがって, |G| は ゎぁべきと仮定してよい. G が芝回群の直積になることを.
IG| に関する帰納法により証明する. ヵe〇をの位数最大の元, p" をその位
数とする、G はアーベル群なので, 互 = (ヵ) は正規部分群である. @/万 は有限
アーベル群で |G/互| < |G| なので, 帰納法によ① 正の整数 c』,…。gz が存在し,

G/太 き 色x…x記。 所の/p7Z、…, の/p 7Z
となる、友の生成元を 記, r:GーG/万 を自然な準同型とするとき, r(g:) =
直人なる頑 po。モ〇をとる.

gi の位数が pt であるように 9, をとれることを示す. g。 の位数が pe 以上

であることは明らかである. pg, と万 なので, pdig, ニー 7 となる 坊 がある.

7 王p7m で/テ0。 7 はpと互いに素とする. pro十2ニー 1 となる整数og
をとれば, ヵーpCoヵ士7か ー 7カカ なので,
7 :守 pす人にgi gy Se の 27 カ
王 の  「「27mん 王 のパク 一 2p"g。 三0
となる. ヵの位数が pc なので, c/-g, =c。 つまり / ご 0。 で の る 20EORdE
と章Wと 。 pg 王の"のテカ つまり の(のーの17) ニ 0 である. (のー
pr) =ニ(9) なので, gg を の2mみ で取り換えればよい

ー二g (6 肪) と定めると, ゅ は準同型である !
で末と同型である. また,

をに制限すると, O/万 への同型となる. Ker(
である. |万x| =|GI なので.  1       G/H

Answer 1

gößt

(π⚪︎φ)(g_i)=k_i だからですね

具体的には
(m_1g_1, ⋯, m_tg_t)
と
m_1k_1+⋯+m_tg_t
が一対一対応します

gößt

ちょっと誤字りました。下から二行目は
m_1k_1+⋯+m_tk_t
の間違いです

数学無理ちゃん

準同型は生成元での値で全部決まるとかいうお気持ちですか

gößt

まあそんなところですね。直積群ゆえg_iらによる表した方が一意だから全単射になるといった感じです