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ひとまず
xyx=240となる自然数x, y, zの組み合わせについて考えます。(-の処理は最後にします。)
240=2^4×3×5 であり、x, y, zは整数ゆえ
x=2^a×3^a'×5^a''
y=2^b×3^b'×5^b''
z=2^c×3^c'×5^c''
と表せ
a+b+c=4
a'+b'+c'=1
a''+b''+c''=1
を満たす非負の整数の組み合わせについて考えます。
a+b+c=4については
○4つと|2つの並び替えを考えると、
6C2=15通り
例えば
○|○○|○ →(a, b, c)=(1, 2, 1)
|○○○○| →(a, b, c)=(0, 4, 0)
といったような対応をさせます。
a'+b'+c'=1, a''+b''+c''=1については○1つと|2つの並び替えを考え、
3C1=3通り
よって、xyz=240を満たす自然数x, y, zの組み合わせは
15×3×3=135通り
xyz=-240が付くのはx, y, z のうち1つが負2つが正の場合か、3つが負の場合。
よって、
135×(3C1+3C3)=135×4=540通り
なるほど！！
とてもわかりやすいです！ありがとうございます！
最後のところ文章が変でした…
xyz=-240と-が付くのは、x, y, z のうち1つが負2つが正の場合か、3つが負の場合。
です。