Question

やさいのようせい

数学の問題でよくある必要性、十分性の意味がよく分かりません……

必要条件、十分条件の意味がいくら考えてもどうしても理解できません。

分かりやすく誰か教えてください…！！

Answer 1

SHUNTY

集合の中に含まれていたら、
十分だと考えると理解しやすいと思います。

やさいのようせい

ありがとうございます！
十分性がややこしくてよくわからなかったのですが、『〜は』の要素が『…であるための』の要素に十分含んでいるということだったんですね！

Answer 2

きらうる

まずは定義から。
命題「pならばqである」が成立するとき
qはpの必要条件である。pはqの十分条件である。

例えば、
x²=4という式があったとします。xに適当に数字を当てはめていくと、x=2という答えがありました。
つまり、x=2のとき、x²=4であるという『必要性』は示すことができました。
しかし、十分性が確保できているかといえば、そうとは言い切れませんので、『十分性』について検証する必要があります。
『十分性』とはx²=4のとき、x=2以外にもないのかを検証することです。分かると思いますが、x=-2がありますね。
何が言いたいかというと、
「x²=4はx=2である」とは言えないが、「x=2はx²=4である」とは言えるわけです。
よって、必要条件であると言えます。

他の例でいくと
「N＝(n-4)(n+8)が素数になるような整数nをすべて求めよ」
という問題があった場合、Nが素数になるためには
N=□×1，1×□,-□×-1,-1×-□　のどれかが成り立つ『必要性』を確認します。
このとき、n-4=±1，n+8=±1であることが必要になります。
ではこれらの答えのn=5,3,-7,-9のすべてが答えになるかというと、まだ『十分性』が確保できていませんので、それぞれについてNの値を求めていくと、n=3,-7のときはNがマイナスになってしまうため、成り立ちません。
したがって、答えはn=5,-9となります。

ただ単に、必要条件か十分条件かを判断するだけなら、もっと単純に考えても良いのですが、必要性・十分性についての具体的な考え方を示してみました。

やさいのようせい

回答ありがとうございます！！
必要性、十分性についてよく分かってきました！