なぜこの同値が言えるのか分かりません。教えてくださいm(_ _)m

回答

✨ ベストアンサー ✨

直樹氏。

7年弱前

定数i, jに対して
「i = jである」と「i = 1ならばj = 1である」
は同値です。

同じように、
「a, bの最大公約数と、x, yの最大公約数が等しい」
と
「a, bの最大公約数が1ならば、x, yの最大公約数も1である」
は同値なので、先ほどの同値の主張は成り立ちます。

Yuri 7年弱前

丁寧に回答していただきありがとうございます。おかげで理解できましたm(_ _)m
知識がすごくて憧れます✨

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回答

gößt

7年弱前

同値というには少しおかしいと思います。どちらも正しいという意味では同値ですが⋯
どのような文脈で述べられているのでしょうか？

Yuri 7年弱前

いつもありがとうございます✨
一部分だけ抜き出して分かりにくい感じで載せてしまって申し訳ないです💦
画像2、3枚目に解答部分全て載せましたm(_ _)m

今回は他の方が先に分かりやすい解答してくださったのでそちらをベストアンサーにさせて頂きましたm(._.)m

gößt 7年弱前

解説を載せていただいてありがとうございます。解説を見たところ、やはり私には1枚目の画像の同値は成り立たないように思えますが、他の方の回答で一旦納得したのならそれでもいいかと思ってやめときます。いろいろ言って混乱させるのもよくないですからね。また理解が深まったときにこの問題を見返してみるとそういうことだったのかと分かるようになるかもしれません

Yuri 7年弱前

すみません今載せたの勘違いしてたので一旦消しましたm(_ _)mもっと考えてからお返事させていただきますm(_ _)m

Yuri 7年弱前

やっぱりさっきのでいいかもしれません。自分としてはやっぱり理解できてないと思いますm(_ _)m

gößt 7年弱前

例えば、
a=x², b=y²
とすると、
gcd(x,y)=1 ⇒ gcd(a,b)=1
ですが
gcd(x,y)=gcd(a,b)
は成り立たないです。
gcd(a,b)=gcd(x,y)²
ですからね

直樹氏。のいう
"定数i, jに対して
「i = jである」と「i = 1ならばj = 1である」
は同値"
という主張は間違いとは言えないのですが、これはiとjが定数のときしか成り立たないです

gößt 7年弱前

解説をよく読むと、
gcd(x,y)=gcd(a,b)
と
gcd(x,y)=1 ならば gcd(a,b)=1
が同値であるという論調にはなっていません

おそらく以下のような流れで議論をしていると思われます
「gcd(x,y)=gcd(a,b)」
であることは
「kがx,yの最大公約数ならば、kはa,bの最大公約数」
であることと同値です。また、
「kがx,yの最大公約数である」
とは、
「x=kp, y=kq(p,qは互いに素) と表せる」
ことに他ならないので、結局
「gcd(x,y)=gcd(a,b)」
であることは
「x=kp, y=kq(p,qは互いに素) と表せるならば、
a=km, b=kn(m,nは互いに素) と表せる」
ことと同値です

そこで実際に
x=kp, y=kq(p,qは互いに素)
とおいてみると、
a=k(5p+4q), b=k(6p+5q)
と表せるので、あとは 5p+4q と 6p+5q が互いに素であることを示せばOK、という流れですね